几何超难题求解

王守恩

wayne 发表于 2024-11-23 22:13
答案是$\frac{2}{13} \sqrt{10 (14+14^{1/3}-2* 14^{2/3})}$, 即$28561 t^6-283920 t^4+1075200 t^2-896000 ...

谢谢 wayne！！！ 去掉 1 > B > b > A > a > 0 这个限定条件。6, 9, 13是可以换的。

1. N[Solve[{15/Sin[2a]==19/Sin[2b]==26/Sin[2(a+b)],Cot[b]+Cot[B]==15/r,Cot[a]+Cot[A]==19/r,Cot[b]+Cot[a]+2/Sin[2(b+B)]+2/Sin[2(a+A)]==26/r,1>B>0,1>b>0,1>A>0,1>a>0},{a,A,b,B,r}],20]

复制代码

{{a -> 0.30306194861248516978, A -> 0.24619154237567989523, b -> 0.40305707446611322315, B -> 0.29245927182142971666, r -> 2.6471644624115968585}}

nyy

假设是两个内切圆，那么结果是：

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
   
5. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
6. (*子函数,用来计算内切圆半径的平方*)
   
7. rr[a_,b_,c_]:=((2*heron[a,b,c]/(a+b+c))^2)
   
8. (*子函数,用来计算平角两侧的余弦值的和,最后同分得到分子*)
   
9. pj[a_,b_,c_,d_,e_]:=(Numerator@Together[cs[a,c,d]+cs[b,c,e]]==0)
   
10. ans=FullSimplify@Solve[{
    
11.     rr[9,a,b]==rr[a,6,c],
    
12.     pj[b,c,a,9,6],
    
13.     b+c==13
    
14. },{a,b,c}](*先求出数值解*)
    
15. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
16. Grid[N@ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
17. ccc=RootReduce[2*heron[9,a,b]/(9+a+b)/.ans](*找到内切圆的半径的根*)
    
18. ddd=ToRadicals[ccc](*转化为根式*)
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{lll}
a\to -\sqrt{14} & b\to \frac{1}{13} \left(3 \sqrt{14}+107\right) & c\to \frac{1}{13} \left(62-3 \sqrt{14}\right) \\
a\to \sqrt{14} & b\to \frac{1}{13} \left(107-3 \sqrt{14}\right) & c\to \frac{1}{13} \left(3 \sqrt{14}+62\right) \\
a\to 14-3 \sqrt{\frac{14}{13}} & b\to \sqrt{182}+5 & c\to 8-\sqrt{182} \\
a\to 3 \sqrt{\frac{14}{13}}+14 & b\to 5-\sqrt{182} & c\to \sqrt{182}+8 \\
\end{array}\]
数值化
\[\begin{array}{lll}
a\to -3.74166 & b\to 9.09423 & c\to 3.90577 \\
a\to 3.74166 & b\to 7.36731 & c\to 5.63269 \\
a\to 10.8868 & b\to 18.4907 & c\to -5.49074 \\
a\to 17.1132 & b\to -8.49074 & c\to 21.4907 \\
\end{array}\]

半径对应方程
\[\left\{\text{Root}\left[169 \text{$\#$1}^4-1200 \text{$\#$1}^2+1600\&,4\right],\text{Root}\left[169 \text{$\#$1}^4-1200 \text{$\#$1}^2+1600\&,3\right],2 \sqrt{\frac{10}{13}},2 \sqrt{\frac{10}{13}}\right\}\]

半径根式为
\[\left\{\sqrt{\frac{80 \sqrt{14}}{169}+\frac{600}{169}},\frac{2}{13} \sqrt{10 \left(15-2 \sqrt{14}\right)},2 \sqrt{\frac{10}{13}},2 \sqrt{\frac{10}{13}}\right\}\]
数值化
{2.30684, 1.33383, 1.75412, 1.75412}

mathe

能否构造一组数据使得三条边长都是整数，半径也是整数?

hujunhua

三个圆都嫌多，两个圆就好了。再整出更多的来，我看不到意义。

iseemu2009

nyy 发表于 2025-1-26 09:31
你的回答，计算量太大，软件没计算出结果

这是个很难的问题，我有很妙的解法，图中每条线段的长度和圆的半径都有精确的表达式。可能对于三个圆，会觉得问题较简单，我的办法对于十几个圆都会很轻松算出。

iseemu2009

nyy 发表于 2025-1-25 19:00
你有答案吗？

给你个精确值化简后的近似值吧，AF≈10.9544512。图中每条线段的长度和等圆的半径都有精确表达式。

iseemu2009

如图所示，三角形 ABC 中，AB=19，BC=26，CA=15。D、E、F、G、H 在边BC上，连接 AD、AE、AF、AG、AH，使相邻的 6 个小三角形有相等的内切圆半径，求 AF 的长度。

mathe

设A点坐标(0,h), 第k个圆圆心坐标\((x_k,0)\),于是
\(\sin^{-1}\left(\frac{x_{k+1}}{\sqrt{x_{k+1}^2+h^2}}\right)-\sin^{-1}\left(\frac{x_k}{\sqrt{x_k^2+h^2}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{r}{\sqrt{x_{k+1}^2+h^2}}\right)+\sin^{-1}\left(\frac{r}{\sqrt{x_k^2+h^2}}\right)
\)
两边同时求正弦，可以得到
\(\left(x_{k+1}-x_k\right)h=\left(\sqrt{x_k^2+h^2-r^2}+\sqrt{x_{k+1}^2+h^2-r^2}\right)r\)  (1)
然后两边同时乘上\(\sqrt{x_{k+1}^2+h^2-r^2}-\sqrt{x_k^2+h^2-r^2}\)，消除\(x_{k+1}-x_k\)得到
\(\left(\sqrt{x_{k+1}^2+h^2-r^2}-\sqrt{x_k^2+h^2-r^2}\right)h=\left(x_{k+1}+x_k\right)r\)  (2)
然后消除\(\sqrt{x_{k+1}^2+h^2-r^2}\)就可以得到\(x_{k+1}\)比较简单的递推式了,  $x_{k+1}=\frac{(h^2+r^2)x_{k}+2 h r \sqrt{h^2-r^2+x_{k}^2}}{h^2-r^2}$
化简后为
\((h^2-r^2)(x_{k+1}+x_k)^2-4h^2x_kx_{k+1}=4h^2r^2\)，
根据链接内容，这个其实等价于一个特殊的“圆锥变换”，这个表示，我们应该可以找到一个椭圆曲线群，将\(x_k\)表示为椭圆曲线群中点的横坐标。可以使用这个链接中附件中方案去找到这个椭圆曲线群。

wayne

iseemu2009 发表于 2025-1-27 12:37
如图所示，三角形 ABC 中，AB=19，BC=26，CA=15。D、E、F、G、H 在边BC上，连接 AD、AE、AF、AG、AH，使相 ...

$ AF=2 \sqrt{30} $,

$AD=14.738417639336678343...= \frac{1}{13} \sqrt{9900+242* 2^{2/3} 15^{1/3}+3375* 2^{1/3} 15^{2/3}} $
$AE=12.154612223991574272...= \frac{11}{13} 2^{2/3} 15^{1/3}+\frac{15}{13}2^{1/3} 15^{2/3}$
$ AF=10.954451150103322269...= 2 \sqrt{30} $,
$AG=11.001311706217215051...= \frac{15}{13} 2^{2/3} 15^{1/3}+\frac{11}{13}2^{1/3} 15^{2/3}$
$AH=12.300528356494645347...= \frac{1}{13} \sqrt{15 (660+30*2^{2/3} 15^{1/3}+121*2^{1/3}  15^{2/3})}$

$r =1.5437577716805577...$ , 是方程的$137858491849 x^{12}-24227202413700 x^{10}+1774033312837500 x^8-70205531338800000 x^6+1116092489118750000 x^4-29718439059375000000 x^2+65380565930625000000=0$根

wayne

mathe 发表于 2025-1-26 13:34
能否构造一组数据使得三条边长都是整数，半径也是整数?

如果是两个圆,那么最后化简出来$r(a,b,c) = f(a,b,c,r)\pm g(a,b,c,r)=0$, 其中

1. f(a,b,c,r)=a^6-2 a^5 b-a^4 b^2-a^4 c^2+4 a^3 b^3-4 a^3 b c^2+16 a^3 b r^2-a^2 b^4+10 a^2 b^2 c^2-16 a^2 b^2 r^2-a^2 c^4-16 a^2 c^2 r^2+64 a^2 r^4-2 a b^5-4 a b^3 c^2-16 a b^3 r^2+6 a b c^4+16 a b c^2 r^2+b^6-b^4 c^2+16 b^4 r^2-b^2 c^4-32 b^2 c^2 r^2+c^6+16 c^4 r^2
   
2. 
   
3. g(a,b,c,r)=2 (a - b - c) c (a - b + c) (a^3 - a^2 b - a b^2 + b^3 - a c^2 - b c^2 - 8 a r^2)

复制代码

如果是三个圆,那么最后化简出来$r(a,b,c) = f(a,b,c,r)\pm g(a,b,c,r)=0$, 其中

1. f(a,b,c,r)=a^10-2 a^9 b-3 a^8 b^2+8 a^7 b^3+2 a^6 b^4-12 a^5 b^5+2 a^4 b^6+8 a^3 b^7-3 a^2 b^8-2 a b^9+b^10-3 a^8 c^2+12 a^6 b^2 c^2-18 a^4 b^4 c^2+12 a^2 b^6 c^2-3 b^8 c^2+2 a^6 c^4+12 a^5 b c^4-18 a^4 b^2 c^4+8 a^3 b^3 c^4-18 a^2 b^4 c^4+12 a b^5 c^4+2 b^6 c^4+2 a^4 c^6-16 a^3 b c^6+12 a^2 b^2 c^6-16 a b^3 c^6+2 b^4 c^6-3 a^2 c^8+6 a b c^8-3 b^2 c^8+c^10-12 a^8 r^2+48 a^7 b r^2-144 a^5 b^3 r^2+72 a^4 b^4 r^2+144 a^3 b^5 r^2-96 a^2 b^6 r^2-48 a b^7 r^2+36 b^8 r^2-48 a^5 b c^2 r^2+48 a^4 b^2 c^2 r^2-96 a^3 b^3 c^2 r^2+96 a^2 b^4 c^2 r^2+144 a b^5 c^2 r^2-144 b^6 c^2 r^2+72 a^4 c^4 r^2-48 a^3 b c^4 r^2+96 a^2 b^2 c^4 r^2-144 a b^3 c^4 r^2+216 b^4 c^4 r^2-96 a^2 c^6 r^2+48 a b c^6 r^2-144 b^2 c^6 r^2+36 c^8 r^2+192 a^6 r^4-384 a^4 b^2 r^4+192 a^2 b^4 r^4-384 a^4 c^2 r^4-384 a^2 b^2 c^2 r^4+192 a^2 c^4 r^4+1024 a^4 r^6
   
2. 
   
3. g(a,b,c,r)=2 (a - b - c)^2 (a + b - c) c (a - b + c)^2 (a + b + c) (a^3 - a^2 b - a b^2 + b^3 - a c^2 - b c^2 - 24 a r^2)

复制代码