几何超难题求解

wayne

给一下 递推的代码.

1. Block[{a=23,b=19,c=26,n=6,h,nextp},
   
2. h=Area[SSSTriangle[a,b,c]]/(2 a);
   
3. nextp[{x1_,y1_}]:=Factor[{( a (h^2-2 h r+2 r^2) x1+2 a (h-r) r y1-(a^2+b^2-c^2) r^2)/(a h (h-2 r)),(a (h^2-2 h r+2 r^2) y1-((h-r) r (a^2+b^2-c^2-2 a x1)))/(a h (h-2 r))}];
   
4. {h,SolveValues[{Nest[nextp,{0,b},n][[1]]==a,h>2r>0},r],RootReduce[(1-((-a+b+c)/(a+b+c))^(1/n)) h/2]}]

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wayne

mathe 发表于 2025-1-26 13:34
能否构造一组数据使得三条边长都是整数，半径也是整数?

这下子就有戏了.
三角形三边是$(a,b,c)$, 在边$a$上 排列$n$个等半径的内切圆, $\frac{1}{2}ah=\Delta$,  
那么半径$r = \frac{1}{2} (1-(\frac{-a+b+c}{a+b+c})^{1/n})h  = \frac{1}{4 a} (1-(\frac{-a+b+c}{a+b+c})^{1/n})\sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}$

iseemu2009

三角形ABC的三边长 a、b、c（
与三个顶点相对应），在边a上排列n个等半径的内切圆，设顶点A对应的高是h，则等圆的半径通项公式如下图：

wayne

geogebra的画图很简单,代数能力也很厉害的, 分享出来的链接:https://www.geogebra.org/classic/fxt4usgw

1. C=(0,0)
   
2. B=C+(a,0)
   
3. A=Intersect(Circle(C,b),Circle(B,c),1)
   
4. Segment(A,B)
   
5. Segment(C,B)
   
6. Segment(A,C)
   
7. h=2*((Area(A,B,C))/(a))
   
8. r = (1 - ((b + c - a)/(b + c + a))^(1/n)) h/2
   
9. f(x)=real(x)+((2 r (h imaginary(x)-r (imaginary(x)+((a^(2)+b^(2)-c^(2))/(2 a))-real(x))))/(h (h-2 r)))+ί*((h^(2) imaginary(x)-2 r (h-r) (imaginary(x)+((a^(2)+b^(2)-c^(2))/(2 a))-real(x)))/(h (h-2 r)))
   
10. lst=IterationList(f(a),a,{b*i},n)
    
11. pts=C+((Vector(C,B))/(a))*real(lst)
    
12. Zip(Incircle(A,p1,p2), p1,Take(pts,1,n),p2,Take(pts,2,n+1))
    
13. Zip(Segment(A,p1), p1,Take(pts,2,n))
    

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王守恩

iseemu2009 发表于 2025-1-29 10:38
三角形ABC的三边长 a、b、c（
与三个顶点相对应），在边a上排列n个等半径的内切圆，设顶点A对应的高是h，则 ...

1. Table[(Power[b + c + a, (n)^-1] - Power[b + c - a, (n)^-1]) Sqrt[((b + c)^2 - a^2) (a^2 - (b - c)^2)]/(4 a Power[b + c + a, (n)^-1]), {a, 26, 26}, {b, 19, 19}, {c, 15, 15}, {n, 36}]

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{{Sqrt[22], 1/13 Sqrt[330 (17 - 2 Sqrt[30])], -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/3) 15^(2/3)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/4) 15^(3/4)),
-(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/5) 15^(4/5)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/6) 15^(5/6)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/7) 15^(6/7)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/8) 15^(7/8)),
-(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/9) 15^(8/9)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/10) 15^(9/10)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/11) 15^(10/11)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/12) 15^(11/12)),
-(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/13) 15^(12/13)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/14) 15^(13/14)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/15) 15^(14/15)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/16) 15^(15/16)),
-(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/17) 15^(16/17)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/18) 15^(17/18)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/19) 15^(18/19)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/20) 15^(19/20)),
-(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/21) 15^(20/21)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/22) 15^(21/22)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/23) 15^(22/23)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/24) 15^(23/24)),
-(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/25) 15^(24/25)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/26) 15^(25/26)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/27) 15^(26/27)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/28) 15^(27/28)),
-(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/29) 15^(28/29)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/30) 15^(29/30)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/31) 15^(30/31)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/32) 15^(31/32)),
-(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/33) 15^(32/33)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/34) 15^(33/34)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/35) 15^(34/35)), -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/36) 15^(35/36))}}

这样更快些。

1. Table[((Power[b + a, (n)^-1] - Power[b - a, (n)^-1]) Sqrt[(b^2 - a^2) (a^2 - c^2)])/(4 a Power[b + a, (n)^-1]), {a, 26, 26}, {b, 34, 34}, {c, 4, 4}, {n, 36}] // FullSimplify

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1. Table[((Power[a, (n)^-1] - Power[b, (n)^-1]) Sqrt[a b ((a - b)^2 - 4 c^2)])/(4 (a - b) Power[a, (n)^-1]), {a, 60, 60}, {b, 8, 8}, {c, 4, 4}, {n, 36}] // FullSimplify

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iseemu2009

王守恩 发表于 2025-1-30 09:06
{{Sqrt[22], 1/13 Sqrt[330 (17 - 2 Sqrt[30])], -(1/13) Sqrt[22] (-15 + 2^(1/3) 15^(2/3)), -(1/13) S ...

你这个程序代码是求36个圆时的情况吗？     {a, 60, 60}, {b, 8, 8}, {c, 4, 4}表示三边的长度吗？

mathe

wayne 发表于 2025-1-29 10:18
这下子就有戏了.
三角形三边是$(a,b,c)$, 在边$a$上 排列$n$个等半径的内切圆, $\frac{1}{2}ah=\Delta$,  
...

根据wayne这个公式，在n为偶数是选择\(m=\frac n2\),n为奇数时选择\(m=n\).
我们让\(\frac{-a+b+c}{a+b+c}=w^{2m}, (a+b-c)(a-b+c)=a^2-(b-c)^2=x^2\)
于是可以选择\(a=u^2+v^2,b=c+u^2-v^2,x=2uv\),最后代入得到
\(c=\frac{w^{2m}u^2+v^2}{1-w^{2m}},a=u^2+v^2,b=c+u^2-v^2\)可以得到一组有理解.
由此，比如n=3,我们可以搜索到解:


比如n=6,我们可以搜索到解:

nyy

我需要过程过程过程！！！！！

mathe

如图，求半径

wayne

mathe 发表于 2025-1-30 14:05
根据wayne这个公式，在n为偶数是选择\(m=\frac n2\),n为奇数时选择\(m=n\).
我们让\(\frac{-a+b+c}{a+b+ ...

继续 $a = u^2+v^2, b=\frac{u^2 w^{2 m}+v^2}{1-w^{2 m}}+u^2-v^2, c=\frac{u^2 w^{2 m}+v^2}{1-w^{2 m}}, r=\frac{u v (1-w) w^m}{1-w^m},0<w<1,$,

设$w=\frac{q}{p}$,则$a = u^2+v^2, b=\frac{u^2 p^{2 m}+v^2 q^{2 m}}{p^{2 m}-q^{2 m}}, c=\frac{v^2 p^{2 m}+u^2 q^{2 m}}{p^{2 m}-q^{2 m}}, r=\frac{u v q^m (p-q)}{p(p^m-q^m)},0<w<1,$
比如$n=4$,则
$a = u^2+v^2, b= \frac{p^4 u^2+q^4 v^2}{p^4-q^4},c=\frac{p^4 v^2+q^4 u^2}{p^4-q^4}, r= \frac{q^2 u v}{p (p+q)}$