几何超难题求解

iseemu2009

总的来说，1、初始 a 边上有几个基础的等圆，那么就可以形成几级圆系。
                2、只有在基础圆系成立的条件下，高级圆系的圆半径才会相等。
                3、我们可以从开始随意构造高级的圆系，但其低级的圆系半径不相等。

nyy

iseemu2009 发表于 2025-2-5 10:51
我52#上传了自己编写的“任意三角形的a边上的n个等圆求任意线段长度和等圆半径”的 Mathematica 程序，以 ...

直接把代码粘贴上来不好吗？我都是直接粘贴的！

mathe

nyy 发表于 2025-2-5 11:58
直接把代码粘贴上来不好吗？我都是直接粘贴的！

使用如上图代码框，把代码放在里面，就不会乱码了

nyy

我还是没明白怎么弄出来的。如何弄出半径？
我不好奇结论，我只好奇结论是怎么得到的？

wayne

iseemu2009 发表于 2025-1-27 12:37
如图所示，三角形 ABC 中，AB=19，BC=26，CA=15。D、E、F、G、H 在边BC上，连接 AD、AE、AF、AG、AH，使相 ...

终极的代数解如下,设$BC$上的点依次是$X_{k}, k=0,...,n$,也即是$B=X_0, C=X_{n}$,那么$BC$上的高$h=\frac{\sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}}{2 a}$,内切圆半径是$r=\frac{1}{2} h (1-(\frac{-a+b+c}{a+b+c})^{1/n})$,
再设中间变量$t_k=(1-\frac{2 r}{h})^k$, 于是$BX_{k} = \frac{(1-t_k) (\sqrt{b^2-h^2} (t_k-1)+b (t_k+1))}{2 t_k}$, $AX_{k} = \frac{\sqrt{b^2-h^2} (t_k^2-1)+b (t_k^2+1)}{2 t_k}$
利用该公式,计算$n=10000$的代数解,只需要秒出,如果要Expand化简,也只是7秒钟.如果是数值解,是0.1秒钟.

1. Block[{a=26,b=19,c=15,n=100,h,r},h=Sqrt[(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)]/(2 a);r=(1-((-a+b+c)/(a+b+c))^(1/n)) h/2;
   
2. {r,Timing[Table[Expand[{((1-t) (Sqrt[b^2-h^2] (-1+t)+b (1+t)))/(2 t),(Sqrt[b^2-h^2] (-1+t^2)+b (1+t^2))/(2 t)}/.t->(1-(2r)/h)^i],{i,0,n}]]}]

复制代码

nyy

mathe 发表于 2025-1-31 19:08
chyanog给出了一个引理：
在\(\Delta ABC\)中，h是边BC上的高，r为三角形内切圆半径，那么\(1-\frac{2r}h=\ ...

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 9791&pid=103508
37楼的引理的证明

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. tanB2=Sqrt[(1-cs[a,c,b])/(1+cs[a,c,b])]//FullSimplify(*利用余弦定理以及半角公式计算tan(B/2)*)
   
5. tanC2=Sqrt[(1-cs[a,b,c])/(1+cs[a,b,c])]//FullSimplify(*利用余弦定理以及半角公式计算tan(C/2)*)
   
6. bbb=(tanB2*tanC2)^2//Simplify
   

复制代码

只证明右边，左边太简单了。右边结果等于
\[\tan \left(\frac{B}{2}\right) \tan \left(\frac{C}{2}\right)=\frac{-a+b+c}{a+b+c}\]

用这个办法，也能证明
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

nyy

Theorem of the Equal Incircles
https://www.wolframcloud.com/obj ... dBasicCopiedContent

Equal Incircles Theorem, Angela Drei's Proof(就是这个证明)
https://www.cut-the-knot.org/triangle/EqualIncirclesTheorem.shtml

Metric Relations in a Triangle
https://www.cut-the-knot.org/tri ... riangle.shtml#tansq

Generalizing the Equal Incircles Theorem: Insights from Sangaku Problems
https://www.ejpam.com/index.php/ejpam/article/view/5300/1805

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推导图示

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推导2

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推导3