几何超难题求解

王守恩

iseemu2009 发表于 2025-1-30 13:01
你这个程序代码是求36个圆时的情况吗？     {a, 60, 60}, {b, 8, 8}, {c, 4, 4}表示三边的长度吗？ ...

好题！！！更直观一点。1——100个圆时的100个解。 a = 15, b = 8,  c = 17,    4个算式是相通的。

1. Table[((1 - Power[(b + c - a)/(b + c + a), (n)^-1]) Sqrt[((b + c)^2 - a^2) (a^2 - (b - c)^2)])/(4 a), {a, 15, 15}, {b, 8, 8}, {c, 17, 17}, {n, 100}] // FullSimplify
   
2. Table[((Power[b + c + a, (n)^-1] - Power[b + c - a, (n)^-1]) Sqrt[((b + c)^2 - a^2) (a^2 - (b - c)^2)])/(4 a Power[b + c + a, (n)^-1]), {a, 15, 15}, {b, 8, 8}, {c, 17, 17}, {n, 100}]
   
3. Table[((Power[b + a, (n)^-1] - Power[b - a, (n)^-1]) Sqrt[(b^2 - a^2) (a^2 - c^2)])/(4 a Power[b + a, (n)^-1]), {a, 15, 15}, {b, 25, 25}, {c, 9, 9}, {n, 100}] // FullSimplify
   
4. Table[((Power[a, (n)^-1] - Power[b, (n)^-1]) Sqrt[a b ((a - b)^2 - 4 c^2)])/(4 (a - b) Power[a, (n)^-1]), {a, 40, 40}, {b, 10, 10}, {c, 9, 9}, {n, 100}] // FullSimplify

复制代码

{{{{3,   2,   4 - 2 2^(1/3),   4 - 2 Sqrt[2],   4 - 2 2^(3/5),   4 - 2 2^(2/3),   4 - 2 2^(5/7),   4 - 2 2^(3/4),   4 - 2 2^(7/9),   4 - 2 2^(4/5), 说明——4 - 2 2^(4/5) = 4 - 2×2^(4/5),
4 - 2 2^(9/11),  4 - 2 2^(5/6),  4 - 2 2^(11/13),  4 - 2 2^(6/7),  4 - 2 2^(13/15),  4 - 2 2^(7/8),  4 - 2 2^(15/17),  4 - 2 2^(8/9),  4 - 2 2^(17/19),  4 - 2 2^(9/10),
4 - 2 2^(19/21), 4 - 2 2^(10/11), 4 - 2 2^(21/23), 4 - 2 2^(11/12), 4 - 2 2^(23/25), 4 - 2 2^(12/13), 4 - 2 2^(25/27), 4 - 2 2^(13/14), 4 - 2 2^(27/29), 4 - 2 2^(14/15),
4 - 2 2^(29/31), 4 - 2 2^(15/16), 4 - 2 2^(31/33), 4 - 2 2^(16/17), 4 - 2 2^(33/35), 4 - 2 2^(17/18), 4 - 2 2^(35/37), 4 - 2 2^(18/19), 4 - 2 2^(37/39), 4 - 2 2^(19/20),
4 - 2 2^(39/41), 4 - 2 2^(20/21), 4 - 2 2^(41/43), 4 - 2 2^(21/22), 4 - 2 2^(43/45), 4 - 2 2^(22/23), 4 - 2 2^(45/47), 4 - 2 2^(23/24), 4 - 2 2^(47/49), 4 - 2 2^(24/25),
4 - 2 2^(49/51), 4 - 2 2^(25/26), 4 - 2 2^(51/53), 4 - 2 2^(26/27), 4 - 2 2^(53/55), 4 - 2 2^(27/28), 4 - 2 2^(55/57), 4 - 2 2^(28/29), 4 - 2 2^(57/59), 4 - 2 2^(29/30),
4 - 2 2^(59/61), 4 - 2 2^(30/31), 4 - 2 2^(61/63), 4 - 2 2^(31/32), 4 - 2 2^(63/65), 4 - 2 2^(32/33), 4 - 2 2^(65/67), 4 - 2 2^(33/34), 4 - 2 2^(67/69), 4 - 2 2^(34/35),
4 - 2 2^(69/71), 4 - 2 2^(35/36), 4 - 2 2^(71/73), 4 - 2 2^(36/37), 4 - 2 2^(73/75), 4 - 2 2^(37/38), 4 - 2 2^(75/77), 4 - 2 2^(38/39), 4 - 2 2^(77/79), 4 - 2 2^(39/40),
4 - 2 2^(79/81), 4 - 2 2^(40/41), 4 - 2 2^(81/83), 4 - 2 2^(41/42), 4 - 2 2^(83/85), 4 - 2 2^(42/43), 4 - 2 2^(85/87), 4 - 2 2^(43/44), 4 - 2 2^(87/89), 4 - 2 2^(44/45),
4 - 2 2^(89/91), 4 - 2 2^(45/46), 4 - 2 2^(91/93), 4 - 2 2^(46/47), 4 - 2 2^(93/95), 4 - 2 2^(47/48), 4 - 2 2^(95/97), 4 - 2 2^(48/49), 4 - 2 2^(97/99), 4 - 2 2^(49/50)}}}}

mathe

wayne

wayne 发表于 2025-1-29 10:18
这下子就有戏了.
三角形三边是$(a,b,c)$, 在边$a$上 排列$n$个等半径的内切圆, $\frac{1}{2}ah=\Delta$,  
...

通过变换$(a,b,c)->(y+z,x+z,x+y)$之后,$r= \frac{\sqrt{x y z (x+y+z)} \left(1-(\frac{x}{x+y+z})^{1/n})}{y+z}$, 这个时候枚举就不需要考虑三角形的三边的边界条件了. 继续: $\frac{x}{x+y+z} =w^n, w^nyz=v^2$
解得的有理解是:
$x=1,y=\frac{R^2 \cos ^2(\theta )}{1-R^2}, z= \frac{R^2 \sin ^2(\theta )}{1-R^2}, r = \frac{\sin (\theta ) \cos (\theta ) \left(1-\left(1-R^2\right)^{1/n}\right)}{\sqrt{1-R^2}}$
有理化之后,就是$x=(1-R^2) (s^2+t^2)^2, y= R^2 (s^2-t^2)^2,z=4 R^2 s^2 t^2,r= 2 \sqrt{1-R^2}(1-(1-R^2)^{1/n}) s t (s^2-t^2)$
至此, 我们只需要选择合适的$R$,使得$R$同时满足$(1-R^2)^{1/n}$ 和 $(1-R^2)^{1/2}$都为有理数
n=3的时候,前20组解${a,b,c,r}$是

1. {1575,592,1033,72}
   
2. {3325,1517,2448,288}
   
3. {10647,1744,9241,360}
   
4. {18200,6577,11673,288}
   
5. {18207,4321,14464,720}
   
6. {20475,7376,13109,144}
   
7. {39375,3712,36913,1008}
   
8. {52983,26041,28624,2520}
   
9. {83125,14517,84608,4032}
   
10. {84175,48528,72097,9072}
    
11. {86247,10441,78544,2520}
    
12. {105903,6784,102481,2160}
    
13. {112385,27441,106576,7200}
    
14. {123032,18369,105001,1440}
    
15. {176967,52201,130384,7560}
    
16. {192185,61056,168121,14400}
    
17. {210392,46881,164089,2880}
    
18. {233275,83984,149301,504}
    
19. {234423,11344,230521,3960}
    
20. {266175,20353,254272,6048}

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iseemu2009

mathe 发表于 2025-1-30 18:09
如图，求半径

很简单啊，用我给的等圆半径通项公式，两个图的圆半径都是  2025

iseemu2009

mathe 发表于 2025-1-30 18:09
如图，求半径

很简单，用我图片中的等圆半径通项公式，秒出答案。

iseemu2009

王守恩 发表于 2025-1-31 07:07
好题！！！更直观一点。1——100个圆时的100个解。 a = 15, b = 8,  c = 17,    4个算式是相通的。

{{{{3 ...

经验证，你的程序对于有 n 个等圆时的情况是完全正确的，但第二个算式给出的答案没有一、三、四的简洁。不过很好了。

mathe

chyanog给出了一个引理：
在\(\Delta ABC\)中，h是边BC上的高，r为三角形内切圆半径，那么\(1-\frac{2r}h=\tan\frac{B}2\tan\frac{C}2\)
利用这个引理，对于n个等半径内切圆场景，我们可以对n个小三角形同时使用这个引理，并且相乘，得到
\((1-\frac{2r}h)^n=\tan\frac{B}2\tan\frac{C}2\)。

另外有人从网络上找到了Equal Incircle Theoreams,

如图，已知最底下一层三角形内切圆半径都相同（和本题中条件相同），那么上面若干层同一层中的内切圆半径都相同（跨越多个三角形的内切圆）。
显然，这个问题用chyanog的引理也非常容易得出。

nyy

有谁能把这个问题从头到尾梳理一下？

王守恩

n=3,    最小解？我这里什么解也来不了。
r=1,
r=2, a=21, b=17, c=10,
r=3, a=52, b=41, c=15,
r=4, a=63, b=65, c=16,
r=5,
r=6, a=77, b=74, c=25,
r=7,
r=8, a=126, b=130, c=32,
r=9, a=156, b=123, c=45,

mathe

1. n=2
   
2. a=15,b=17,c=8,r=2
   
3. a=25,b=40,c=25,r=4
   
4. a=30,b=37,c=13,r=3
   
5. a=35,b=29,c=8,r=2
   
6. a=39,b=40,c=25,r=6
   

复制代码

1. n=3
   
2. a=21,b=17,c=10,r=2
   
3. a=52,b=41,c=15,r=3
   
4. a=63,b=65,c=16,r=4
   
5. a=77,b=74,c=25,r=6
   
6. a=95,b=97,c=78,r=12
   

复制代码

1. n=4
   
2. a=75,b=65,c=20,r=4
   
3. a=150,b=145,c=25,r=6
   
4. a=195,b=148,c=73,r=12
   
5. a=255,b=257,c=32,r=8
   
6. a=325,b=340,c=145,r=24
   
7. a=375,b=265,c=160,r=24
   
8. a=390,b=401,c=41,r=10
   

复制代码

1. n=5
   
2. a=93,b=65,c=34,r=4
   
3. a=279,b=257,c=40,r=8
   
4. a=341,b=290,c=73,r=12
   
5. a=484,b=365,c=123,r=9
   
6. a=527,b=296,c=265,r=24
   
7. a=589,b=577,c=50,r=12
   
8. a=837,b=802,c=89,r=20
   

复制代码

1. n=6
   
2. a=315,b=257,c=68,r=8
   
3. a=630,b=577,c=73,r=12
   
4. a=819,b=580,c=265,r=24
   
5. a=1071,b=1025,c=80,r=16
   
6. a=1575,b=1033,c=592,r=48
   

复制代码

1. n=7
   
2. a=381,b=257,c=130,r=8
   
3. a=1143,b=1025,c=136,r=16
   
4. a=1397,b=1154,c=265,r=24
   

复制代码

1. n=8
   
2. a=510,b=257,c=257,r=8
   
3. a=1275,b=1025,c=260,r=16
   
4. a=2550,b=2305,c=265,r=24
   
5. a=3315,b=2308,c=1033,r=48
   
6. a=4335,b=4097,c=272,r=32
   

复制代码

1. n=9
   
2. a=1533,b=1025,c=514,r=16
   
3. a=4599,b=4097,c=520,r=32
   
4. a=5621,b=4610,c=1033,r=48
   
5. a=8687,b=4616,c=4105,r=96
   
6. a=9709,b=9217,c=530,r=48
   

复制代码

1. n=10
   
2. a=2046,b=1025,c=1025,r=16
   
3. a=5115,b=4097,c=1028,r=32
   
4. a=10230,b=9217,c=1033,r=48
   
5. a=13299,b=9220,c=4105,r=96
   
6. a=17391,b=16385,c=1040,r=64
   

复制代码