计算下面三角式
计算下面三角式\(\displaystyle\frac{{2\sin \frac{\pi }{7} + \sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{7}}}\) $$\sqrt{7}$$ aimisiyou 发表于 2025-1-7 22:03
$$\sqrt{7}$$
答案正确，前辈可否写出必要的解题过程 不寫過程都是偷懶，參https://ejsoon.win/pi-divice-seven/ 由 \(e^{i7\theta}=\cos{(7\theta)+i\sin(7\theta)}=(\cos{\theta+i\sin\theta})^7\) 可得 7 倍角公式：
\(\cos{(7\theta)}=64\cos^7{\theta}-112\cos^5{\theta}+56\cos^3{\theta}-7\cos{\theta}\)
\(\sin{(7\theta)}=-64\sin^7{\theta}+112\sin^5{\theta}-56\sin^3{\theta}+7\sin{\theta}\)
由于 \(\sin{\pi}=0, 0<\sin{\frac{\pi}{7}}<\sin{\frac{\pi}{6}}=0.5\)，
解方程 \(64x^6-112x^4+56x^2-7=0\) 即可得到 \(\sin{\frac{\pi}{7}}\) 的值。 Jack315 发表于 2025-1-9 11:55
由 \(e^{i7\theta}=\cos{(7\theta)+i\sin(7\theta)}=(\cos{\theta+i\sin\theta})^7\) 可得 7 倍角公式：
\( ...
3次方程都够呛，更何况6次？不是越搞越复杂吗，估计按照这个思路继续往下走困难重重…… 本帖最后由 Jack315 于 2025-1-9 14:56 编辑
笨笨 发表于 2025-1-9 12:26
3次方程都够呛，更何况6次？不是越搞越复杂吗，估计按照这个思路继续往下走困难重重…… ...
三次方程和四次方程都是能解出来的，只是公式比较复杂……
令 \(y=x^2\) 就得到关于 \(y\) 的三次方程。
这个三次方程的一个解为（另外两个不合适）：
\(\frac{1}{12}\{7-[\frac{7}{2}(1+i 3\sqrt{3})]^{\frac{1}{3}}-[\frac{7}{2}(1+i 3\sqrt{3})]^{\frac{1}{3}}\}\)
这个解再开方就得到了与 4# 图片中相同的结果。
如果用余弦的 7 倍角公式列方程，也是解一个三次方程：
\((x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)^2=0\) 笨笨 发表于 2025-1-9 12:26
3次方程都够呛，更何况6次？不是越搞越复杂吗，估计按照这个思路继续往下走困难重重…… ...
你指的是哪個頁面打不開？把你打不開的網址貼上來。 ejsoon 发表于 2025-1-9 14:14
你指的是哪個頁面打不開？把你打不開的網址貼上來。
就是链接打不开啊
页:
[1]
2