计算下面三角式

笨笨

计算下面三角式

\(\displaystyle\frac{{2\sin \frac{\pi }{7} + \sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{7}}}\)

aimisiyou

$$\sqrt{7}$$

笨笨

aimisiyou 发表于 2025-1-7 22:03
$$\sqrt{7}$$

答案正确，前辈可否写出必要的解题过程

northwolves

ejsoon

不寫過程都是偷懶，參https://ejsoon.win/pi-divice-seven/

Jack315

由 \(e^{i7\theta}=\cos{(7\theta)+i\sin(7\theta)}=(\cos{\theta+i\sin\theta})^7\) 可得 7 倍角公式：
\(\cos{(7\theta)}=64\cos^7{\theta}-112\cos^5{\theta}+56\cos^3{\theta}-7\cos{\theta}\)
\(\sin{(7\theta)}=-64\sin^7{\theta}+112\sin^5{\theta}-56\sin^3{\theta}+7\sin{\theta}\)
由于 \(\sin{\pi}=0, 0<\sin{\frac{\pi}{7}}<\sin{\frac{\pi}{6}}=0.5\)，
解方程 \(64x^6-112x^4+56x^2-7=0\) 即可得到 \(\sin{\frac{\pi}{7}}\) 的值。

笨笨

Jack315 发表于 2025-1-9 11:55
由 \(e^{i7\theta}=\cos{(7\theta)+i\sin(7\theta)}=(\cos{\theta+i\sin\theta})^7\) 可得 7 倍角公式：
\( ...

3次方程都够呛，更何况6次？不是越搞越复杂吗，估计按照这个思路继续往下走困难重重……

Jack315

笨笨 发表于 2025-1-9 12:26
3次方程都够呛，更何况6次？不是越搞越复杂吗，估计按照这个思路继续往下走困难重重…… ...

三次方程和四次方程都是能解出来的，只是公式比较复杂……

令 \(y=x^2\) 就得到关于 \(y\) 的三次方程。
这个三次方程的一个解为（另外两个不合适）：
\(\frac{1}{12}\{7-[\frac{7}{2}(1+i 3\sqrt{3})]^{\frac{1}{3}}-[\frac{7}{2}(1+i 3\sqrt{3})]^{\frac{1}{3}}\}\)
这个解再开方就得到了与 4# 图片中相同的结果。

如果用余弦的 7 倍角公式列方程，也是解一个三次方程：
\((x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)^2=0\)

ejsoon

笨笨 发表于 2025-1-9 12:26
3次方程都够呛，更何况6次？不是越搞越复杂吗，估计按照这个思路继续往下走困难重重…… ...

你指的是哪個頁面打不開？把你打不開的網址貼上來。

笨笨

ejsoon 发表于 2025-1-9 14:14
你指的是哪個頁面打不開？把你打不開的網址貼上來。

就是链接打不开啊