几何难题4
需要初中解法 等有时间用电脑算算看 答案是$20\sqrt{2}$, 就设$BD=1, AC=y,BC=3x,DC=2x, \angle BAC = \alpha$,然后列出三个方程(两次余弦定理,一次勾股定理).\[\left\{4 x^2-4 x y \cos (2 \alpha )+y^2=9 x^2-6 x y \cos (2 \alpha )+y^2+1,13 x^2-12 x^2 \cos (4 \alpha )=1,\sin ^2(\alpha ) \left(4 x^2-4 x y \cos (2 \alpha )+y^2\right)=1\right\}\]
这三个方程很好消元 先消去$x,y$: 消元之前,先设$k=\cos(2\alpha)$,简化表达,就是${-4 k x y+4 x^2+y^2=-6 k x y+9 x^2+y^2+1,13 x^2-12 \left(2 k^2-1\right) x^2=1,\frac{1}{2} (1-k) \left(-4 k x y+4 x^2+y^2\right)=1}$,
解得,$k=\frac{3}{4}$,余略.
f:=x^2+y^2-2 x y Cos;
FullSimplify]]/. Solve[{f]==f]+1,f]==1,f] Sin[\]^2==1},{x,y,\},Reals]] 令AC交BD于E，那么DE=4,BE=6。然后不会了 ∠BAC=b, ∠BAD=a,
Solve[{Cot/Cot == 6/10, Cos/Cos == 2/3, 10/Sin == AD/Sin, 1 > a > b > 0}, {a, b, AD}] // FullSimplify
{{a -> ArcCot], AD -> 20 Sqrt}} 很简单啊 需要初中解法 本帖最后由 TSC999 于 2025-3-20 17:46 编辑
leimou 发表于 2025-3-17 23:21
需要初中解法
初中解法来了：
上面这个做法是【数学中国】的 ataorj 网友给出的。 如果楼上的正切的 二倍角公式 属于 初中做法的话，那么 正余弦的二倍角也可以接受， 那么2#的代数方法也算初中方法。
一定要评论。 2#是纯代数方法，简洁清晰，只需要无脑的消元就行。8#是 几何与代数方法的混杂，突兀，杂乱无章。
TSC999 发表于 2025-3-20 17:43
初中解法来了：
上面这个做法是【数学中国】的 ataorj 网友给出的。
有这个图，可以这样。
Solve[{5/Cos == JG/Sin, 10/Sin == 6*JG/Cos == AD/Sin, 1 > a > 0}, {a, JG, AD}] // FullSimplify
{{a -> ArcCot], JG -> (5 Sqrt)/3, AD -> 20 Sqrt}}
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