三角形ABC,E(E在AB上)C平分∠AED(D在BC上), 2∠ABD=∠BDE。求证: BE+ED=DC。
三角形ABC, AC=AB=BD(延长BC)=DE(E在AC上)。满足DC=CE。求证: ∠DCE=100°。
点 P 在 ΔABC 内部,向量 PA+2PB+3PC=kAB,求实数 k 的取值范围。
点 P 在 ΔABC 内部, 满足向量方程\(\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=k\overrightarrow{AB}\), 求实数 k 的取值范围。
1, 向量转换为位置向量：
\(\overrightarrow{PA}=A−P, \overrightarrow{PB}=B−P, \overrightarrow{PC}=C−P, \overrightarrow{AB}=B-A,\)
代入原方程：(A−P)+2(B−P)+3(C−P)=k(B−A).
2, 展开并整理方程：
解得：6P=(1+k)A+(2−k)B+3C, 即点 P 的坐标：\(P=\frac{(1+k)A+(2−k)B+3C}{6}\)
3, 质心坐标条件：
设点 P 的质心坐标为 \(\alpha A +\beta B +\gamma C\), 满足 \(\alpha + \beta + \gamma = 1：\)
\(α=\frac{1+k}{6} ,β=\frac{2−k}{6},γ=\frac{3}{6}\)
要求\(\alpha, \beta, \gamma>0：\)
\(\alpha>0⟹1+k>0⟹k>−1,\)
\(\beta>0⟹2−k>0⟹k<2,\)
\(\gamma =\frac{3}{6} >0\)恒成立。
综上，最终答案：-1 < k < 2。
通过题目传递的不仅仅是解法，更是勇气！
△ABC中,AB = AC,P是三角形内一点, ∠PBC + ∠PCA = ∠PCB = 30°, 求 ∠APC。
直角等腰三角形ABC,∠ABC=90°,BA=BC=4,D=AC中点,E是BC上的点,满足DE^2=EA*EF(F是AE上的点),求BF的最小值。
设 H 为锐角三角形ABC的垂心，F 为从 C 向 AB 所作高的垂足，P 为 H 关于 BC 的对称点。假设三角形 AFP 的外接圆与直线 BC 相交于两个不同的点 X 和 Y 。证明：C 是 XY 的中点。
P是三角形ABC内一点, ∠PCA = 40°, ∠PAC = 30°, ∠PBC = 20°, 已知AC = BP, 求证: AB = BP + PC。
三角形ABC, 已知角A = 60°, b*c = 8, 求 a 的最小值。
三角形BAC,∠BAC = 120°。 AD = 高 = 11, AE = 中线 = sqrt{221}, AF = 角分线 = ___ 。