王守恩 发表于 2025-4-16 19:01
题目：等边△ABC, BD=5, CD=4, 求四边形ABDC的面积最大值。
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
f=heron+heron//Simplify(*面积表达式*)
fx=D//Simplify(*求导数*)
ans=Solve(*求零点*)
aaa=f/.ans[]//Simplify(*代入目标函数*)
bbb=ArcCos@cs/.ans[](*求∠BDC的弧度,结果显示等于150°在以A为圆心的圆弧上*)
假设等边三角形的边长=x，则面积表达式为
\[\frac{1}{4} \left(\sqrt{3} \sqrt{x^4}+\sqrt{-x^4+82 x^2-81}\right)\]
求导，得到
\[\frac{1}{8} \left(\frac{4 \sqrt{3} x^3}{\sqrt{x^4}}-\frac{4 x \left(x^2-41\right)}{\sqrt{-x^4+82 x^2-81}}\right)\]
求零点，得到
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{20 \sqrt{3}+41}\right\},\left\{x\to \sqrt{20 \sqrt{3}+41}\right\}\right\}\]
代入面积表达式，得到
\[\frac{41 \sqrt{3}}{4}+20\]
计算∠BDC，得到150°，也就是D在以A点为圆心，以等边三角形边长为半径的圆弧上。
难道这个是巧合？？？？？？
从这个函数可以看出来，面积基本上一路增长，到了后面才开始下降！
nyy 发表于 2025-4-20 20:49
这个问题我不会
将四边形ABDC绕 A 旋转60°，120°，180°，240°，300°复制5次，得到一个12边形，边长交替为5, 4, ..., 5, 4.
当它内接于一个圆时，面积最大。可见这时∠BDC=150°→BC^2=41+20√3
三角形ABC, CA=AB=BD(D在BC上)=DE(E在AC延长线上)。CD=CE。 则∠AEB=30。
△ABC,D,E在BC上,F在AD上。∠BAD=∠CFE, ∠BFD=∠CAE。求证: AC=CF。