有回味的题目

nyy

王守恩 发表于 2025-4-16 19:01
题目：等边△ABC, BD=5, CD=4, 求四边形ABDC的面积最大值。

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
   
5. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
6. f=heron[x,x,x]+heron[x,5,4]//Simplify(*面积表达式*)
   
7. fx=D[f,x]//Simplify(*求导数*)
   
8. ans=Solve[fx==0,{x}](*求零点*)
   
9. aaa=f/.ans[[2]]//Simplify(*代入目标函数*)
   
10. bbb=ArcCos@cs[4,5,x]/.ans[[2]](*求∠BDC的弧度,结果显示等于150°在以A为圆心的圆弧上*)
    

复制代码

假设等边三角形的边长=x，则面积表达式为
\[\frac{1}{4} \left(\sqrt{3} \sqrt{x^4}+\sqrt{-x^4+82 x^2-81}\right)\]

求导，得到
\[\frac{1}{8} \left(\frac{4 \sqrt{3} x^3}{\sqrt{x^4}}-\frac{4 x \left(x^2-41\right)}{\sqrt{-x^4+82 x^2-81}}\right)\]

求零点，得到
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{20 \sqrt{3}+41}\right\},\left\{x\to \sqrt{20 \sqrt{3}+41}\right\}\right\}\]

代入面积表达式，得到
\[\frac{41 \sqrt{3}}{4}+20\]

计算∠BDC，得到150°，也就是D在以A点为圆心，以等边三角形边长为半径的圆弧上。
难道这个是巧合？？？？？？



从这个函数可以看出来，面积基本上一路增长，到了后面才开始下降！

hujunhua

nyy 发表于 2025-4-20 20:49
这个问题我不会

将四边形ABDC绕 A 旋转60°，120°，180°，240°，300°复制5次，得到一个12边形，边长交替为5, 4, ..., 5, 4.
当它内接于一个圆时，面积最大。可见这时∠BDC=150°→BC^2=41+20√3

王守恩

三角形ABC, CA=AB=BD(D在BC上)=DE(E在AC延长线上)。CD=CE。 则∠AEB=30。

王守恩

△ABC,  D,E在BC上,  F在AD上。∠BAD=∠CFE, ∠BFD=∠CAE。求证: AC=CF。

王守恩

△ABC,   AB = BC = CA = 3,   P是同一圆周长上的第 4 点,  求 PA^2 + PB^2 + PC^2 = __。

王守恩

P是正方形ABCD内的点,   PA=sqrt{2},  PB=1,  PC=sqrt{3},  求正方形面积。

王守恩

圆内接四边形ABCD, AB = 2, AD = sqrt{2}, ∠CAB = 45°, ∠CAD = 30°。求: AC = ?。

王守恩

三角形ABC, AB = AC = 10, BD(D在BC上) = 8, DC = 4,  过F(F是AD的中点)作AD的垂线交AB于E。求: EF = ?。