有回味的题目

王守恩

三角形ABC,E(E在AB上)C平分∠AED(D在BC上), 2∠ABD=∠BDE。求证: BE+ED=DC。

王守恩

三角形ABC, AC=AB=BD(延长BC)=DE(E在AC上)。满足DC=CE。求证: ∠DCE=100°。

王守恩

点 P 在 ΔABC 内部,  向量 PA+2PB+3PC=kAB,  求实数 k 的取值范围。

王守恩

点 P 在 ΔABC 内部, 满足向量方程  \(\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=k\overrightarrow{AB}\),   求实数 k 的取值范围。

1, 向量转换为位置向量：

\(\overrightarrow{PA}=A−P, \overrightarrow{PB}=B−P, \overrightarrow{PC}=C−P, \overrightarrow{AB}=B-A,\)

代入原方程：(A−P)+2(B−P)+3(C−P)=k(B−A).

2, 展开并整理方程：

解得：6P=(1+k)A+(2−k)B+3C, 即点 P 的坐标：\(P=\frac{(1+k)A+(2−k)B+3C}{6}\)
​       
3, 质心坐标条件：

设点 P 的质心坐标为 \(\alpha A +\beta B +\gamma C\), 满足 \(\alpha + \beta + \gamma = 1：\)

\(α=\frac{1+k}{6} ,β=\frac{2−k}{6}  ,γ=\frac{3}{6}\)
​       
要求  \(\alpha, \beta, \gamma>0：\)

\(\alpha>0⟹1+k>0⟹k>−1,\)

\(\beta>0⟹2−k>0⟹k<2,\)

\(\gamma =\frac{3}{6} >0\)  恒成立。

综上，最终答案：-1 < k < 2。