有回味的题目

王守恩

不定方程。\(\D n^2=(2x)^2+(x+1)^2\)

王守恩

2026 \(\D=U_{1}^2+V_{1}^1-W_{1}^2=U_{2}^2+V_{2}^2-W_{2}^2=U_{3}^2+V_{3}^3-W_{3}^2=\cdots=U_{i}^2+V_{i}^i-W_{i}^2=\cdots=U_{2026}^2+V_{2026}^{2026}-W_{2026}^2\)

说明:  \(U_{i},V_{i},W_{i}\) = 互不相同正整数。

王守恩

三角形ABC的三边分别是a=BC,b=AC,c=AB, 1/a=1/b+1/c, 求角BAC的取值范围。

王守恩

如何把面积为 3 的正方形切成四块，以便与面积为 1 的正方形拼接成面积为 1+3 的正方形。—— 1, 3 是可以的。
如何把面积为 A 的正方形切成四块，以便与面积为 B 的正方形拼接成面积为 A+B 的正方形。——A, B 可以是怎么样的正整数？

王守恩

三角形ABC, AB=AC, ∠A=100°, ∠B平分线交AC于D。求证:  AD+BD=BC。

王守恩

sin(10°)cos(20°)sin(30°)cos(40°)sin(50°)cos(60°)sin(70°)cos(80°)sin(90°)=1/256。

王守恩

求证:\(\D\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{4}{5}\)

\(\D S_{1}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}-\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}-\frac{1}{11^2}+\cdots\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(3n-2)^2}-\frac{1}{(3n-1)^2}\bigg)\)

\(\D S_{2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}-\frac{1}{11^2}+\frac{1}{13^2}-\frac{1}{17^2}+\frac{1}{19^2}-\frac{1}{23^2}+\cdots\cdots=\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(6x-5)^2}-\frac{1}{(6x-1)^2}\bigg)\)

\(\D S_{1}=\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(3n-2)^2}-\frac{1}{(3n-1)^2}\bigg)=\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(3(2x-1)-2)^2}-\frac{1}{(3(2x-1)-1)^2}\bigg)+\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(3(2x)-2)^2}-\frac{1}{(3(2x)-1)^2}\bigg)\)

\(\D=\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(6x-5)^2}-\frac{1}{(6x-4)^2}\bigg)+\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{6x-2)^2}-\frac{1}{(6x-1)^2}\bigg)=A+B\)

\(\D S_{2}=\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(6x-5)^2}-\frac{1}{(6x-1)^2}\bigg)=\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(6x-5)^2}-\frac{1}{(6x-4)^2}\bigg)+\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(6x-4)^2}-\frac{1}{(6x-2)^2}\bigg)+\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(6x-2)^2}-\frac{1}{(6x-1)^2}\bigg)\)

\(\D=A+\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(6x-4)^2}-\frac{1}{(6x-2)^2}\bigg)+B=A+\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{4(3x-2)^2}-\frac{1}{4(3x-1)^2}\bigg)+B=A+\frac{1}{4}*S_{1}+B=A+\frac{1}{4}*(A+B)+B=\frac{5}{4}*(A+B)\)

\(\D\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{A+B}{\frac{5}{4}*(A+B)}=\frac{4}{5}\)

或:

\(\D S_{1}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}-\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}-\frac{1}{11^2}+\frac{1}{13^2}-\frac{1}{14^2}+\frac{1}{16^2}-\frac{1}{17^2}+\frac{1}{19^2}-\frac{1}{20^2}+\frac{1}{22^2}-\frac{1}{23^2}+\cdots\cdots\)

\(\D S_{2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}-\frac{1}{11^2}+\frac{1}{13^2}-\frac{1}{17^2}+\frac{1}{19^2}-\frac{1}{23^2}+\cdots\cdots\)

\(\D=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2})+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}-\frac{1}{8^2}+(\frac{1}{8^2}-\frac{1}{10^2})+\frac{1}{10^2}-\frac{1}{11^2}+\frac{1}{13^2}-\frac{1}{14^2}+(\frac{1}{14^2}-\frac{1}{16^2})+\frac{1}{16^2}-\frac{1}{17^2}+\frac{1}{19^2}-\frac{1}{20^2}+(\frac{1}{20^2}-\frac{1}{22^2})+\frac{1}{22^2}-\frac{1}{23^2}+\cdots\cdots\)

\(\D=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}-\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}-\frac{1}{11^2}+\cdots\cdots+\frac{1}{4}*(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}-\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}-\frac{1}{11^2}+\cdots\cdots)\)

王守恩

更一般的

\(\D\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(3n-2)^k}-\frac{1}{(3n-1)^k}\bigg)}{\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(6x-5)^k}-\frac{1}{(6x-1)^k}\bigg)}=\frac{2^k}{2^k+1}\)

王守恩

来个复杂一点的。

\(\D\frac{\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(5x-4)^2}+\frac{1}{(5x-1)^2}-\frac{1}{(5x-2)^2}-\frac{1}{(5x-3)^2}\bigg)}{\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(10x-9)^2}+\frac{1}{(10x-1)^2}-\frac{1}{(10x-3)^2}-\frac{1}{(10x-7)^2}\bigg)}=\frac{4}{5}\)

王守恩

来个纸老虎。

\(\displaystyle\frac{\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(11x-10)^2}+\frac{1}{(11x-8)^2}+\frac{1}{(11x-7)^2}+\frac{1}{(11x-6)^2}+\frac{1}{(11x-2)^2}-\frac{1}{(11x-9)^2}-\frac{1}{(11x-5)^2}-\frac{1}{(11x-4)^2}-\frac{1}{(11x-3)^2}-\frac{1}{(11x-1)^2}\bigg)}{\sum_{x=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{(22x-21)^2}+\frac{1}{(22x-19)^2}+\frac{1}{(22x-17)^2}+\frac{1}{(22x-13)^2}+\frac{1}{(22x-7)^2}-\frac{1}{(22x-15)^2}-\frac{1}{(22x-9)^2}-\frac{1}{(22x-5)^2}-\frac{1}{(22x-3)^2}-\frac{1}{(22x-1)^2}\bigg)}=\frac{4}{5}\)