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nyy 发表于 2025-4-6 11:50:54

求CD的长度？

不知道为什么，现在初中的题目这么难

aimisiyou 发表于 2025-4-6 15:56:45

（8+4√13)/3

nyy 发表于 2025-4-7 08:44:29

Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
ans=Solve[{
    (*∠BDE+∠CDE=180°,因此余弦值相加等于零*)
    Numerator@Together*x]+cs],
    (*∠BDA+∠CDA=180°,因此余弦值相加等于零*)
    Numerator@Together+cs],
    (*对∠BEC使用余弦定理*)
    Numerator@Together-Cos],
    (*∠BAE+∠CAE=270°,因此余弦值的平方和相加等于1*)
    Numerator@Together*x,y,c]^2+cs^2-1]
}==0,{x,y,b,c}]//FullSimplify//ToRadicals;
Grid(*列表显示*)
aaa=Select/.#)&](*过滤出非负数解*)
Grid(*列表显示*)
Grid(*数值列表显示*)
bbb=(2x-4)/.aaa//Simplify


方程组的全部解为
\[\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
x\to 0 & y\to 0 & b\to 0 & c\to 0 \\
\hline
x\to 2-\frac{2 i}{\sqrt{3}} & y\to 0 & b\to -4 \sqrt{\frac{2}{3}} & c\to 4 (-1)^{5/6} \sqrt{2} \\
\hline
x\to 2-\frac{2 i}{\sqrt{3}} & y\to 0 & b\to 4 \sqrt{\frac{2}{3}} & c\to -4 (-1)^{5/6} \sqrt{2} \\
\hline
x\to 2-\frac{2 i}{\sqrt{3}} & y\to 0 & b\to \sqrt{-\frac{16}{21}-\frac{1}{7} 16 i \sqrt{3}} & c\to -4 \sqrt{\frac{4}{7}-\frac{2 i \sqrt{3}}{7}} \\
\hline
x\to 2-\frac{2 i}{\sqrt{3}} & y\to 0 & b\to -\sqrt{-\frac{16}{21}-\frac{1}{7} 16 i \sqrt{3}} & c\to 4 \sqrt{\frac{4}{7}-\frac{2 i \sqrt{3}}{7}} \\
\hline
x\to 2+\frac{2 i}{\sqrt{3}} & y\to 0 & b\to -4 \sqrt{\frac{2}{3}} & c\to -4 \sqrt{-1} \sqrt{2} \\
\hline
x\to 2+\frac{2 i}{\sqrt{3}} & y\to 0 & b\to 4 \sqrt{\frac{2}{3}} & c\to 4 \sqrt{-1} \sqrt{2} \\
\hline
x\to 2+\frac{2 i}{\sqrt{3}} & y\to 0 & b\to \sqrt{-\frac{16}{21}+\frac{16 i \sqrt{3}}{7}} & c\to -4 \sqrt{\frac{4}{7}+\frac{2 i \sqrt{3}}{7}} \\
\hline
x\to 2+\frac{2 i}{\sqrt{3}} & y\to 0 & b\to -\sqrt{-\frac{16}{21}+\frac{16 i \sqrt{3}}{7}} & c\to 4 \sqrt{\frac{2}{7} \left(2+i \sqrt{3}\right)} \\
\hline
x\to \frac{1}{3} (-2) \left(\sqrt{13}-5\right) & y\to -2 \sqrt{\frac{1}{3} \left(5-\sqrt{13}\right)} & b\to \frac{1}{3} (-4) \left(\sqrt{13}-2\right) & c\to 6-2 \sqrt{13} \\
\hline
x\to \frac{1}{3} (-2) \left(\sqrt{13}-5\right) & y\to \sqrt{\frac{2}{3} \left(10-2 \sqrt{13}\right)} & b\to \frac{1}{3} (-4) \left(\sqrt{13}-2\right) & c\to 6-2 \sqrt{13} \\
\hline
x\to \frac{1}{3} (-2) \left(\sqrt{13}-5\right) & y\to -2 \sqrt{\frac{1}{3} \left(5-\sqrt{13}\right)} & b\to \frac{4}{3} \left(\sqrt{13}-2\right) & c\to 2 \left(\sqrt{13}-3\right) \\
\hline
x\to \frac{1}{3} (-2) \left(\sqrt{13}-5\right) & y\to \sqrt{\frac{2}{3} \left(10-2 \sqrt{13}\right)} & b\to \frac{4}{3} \left(\sqrt{13}-2\right) & c\to 2 \left(\sqrt{13}-3\right) \\
\hline
x\to \frac{2}{3} \left(\sqrt{13}+5\right) & y\to -2 \sqrt{\frac{1}{3} \left(\sqrt{13}+5\right)} & b\to \frac{1}{3} (-4) \left(\sqrt{13}+2\right) & c\to -2 \left(\sqrt{13}+3\right) \\
\hline
x\to \frac{2}{3} \left(\sqrt{13}+5\right) & y\to 2 \sqrt{\frac{1}{3} \left(\sqrt{13}+5\right)} & b\to \frac{1}{3} (-4) \left(\sqrt{13}+2\right) & c\to -2 \left(\sqrt{13}+3\right) \\
\hline
x\to \frac{2}{3} \left(\sqrt{13}+5\right) & y\to -2 \sqrt{\frac{1}{3} \left(\sqrt{13}+5\right)} & b\to \frac{4}{3} \left(\sqrt{13}+2\right) & c\to 2 \left(\sqrt{13}+3\right) \\
\hline
x\to \frac{2}{3} \left(\sqrt{13}+5\right) & y\to 2 \sqrt{\frac{1}{3} \left(\sqrt{13}+5\right)} & b\to \frac{4}{3} \left(\sqrt{13}+2\right) & c\to 2 \left(\sqrt{13}+3\right) \\
\hline
x\to \frac{2}{15} \left(5-i \sqrt{35}\right) & y\to -\frac{2 \sqrt{-1} \sqrt{\sqrt{35}-7 i}}{\sqrt{15}} & b\to -\frac{2 \left(\sqrt{35}-i\right)}{3 \sqrt{5}} & c\to -\frac{4 i}{\sqrt{5}} \\
\hline
x\to \frac{2}{15} \left(5-i \sqrt{35}\right) & y\to 2 \sqrt{\frac{1}{15} \left(7+i \sqrt{35}\right)} & b\to -\frac{2 \left(\sqrt{35}-i\right)}{3 \sqrt{5}} & c\to -\frac{4 i}{\sqrt{5}} \\
\hline
x\to \frac{2}{15} \left(5-i \sqrt{35}\right) & y\to -\frac{2 \sqrt{-1} \sqrt{\sqrt{35}-7 i}}{\sqrt{15}} & b\to \frac{2 \left(\sqrt{35}-i\right)}{3 \sqrt{5}} & c\to \frac{4 i}{\sqrt{5}} \\
\hline
x\to \frac{2}{15} \left(5-i \sqrt{35}\right) & y\to 2 \sqrt{\frac{1}{15} \left(7+i \sqrt{35}\right)} & b\to \frac{2 \left(\sqrt{35}-i\right)}{3 \sqrt{5}} & c\to \frac{4 i}{\sqrt{5}} \\
\hline
x\to \frac{2}{15} \left(5+i \sqrt{35}\right) & y\to 2 (-1)^{3/4} \sqrt{\frac{1}{15} \left(\sqrt{35}+7 i\right)} & b\to \frac{2 \left(\sqrt{35}+i\right)}{3 \sqrt{5}} & c\to -\frac{4 i}{\sqrt{5}} \\
\hline
x\to \frac{2}{15} \left(5+i \sqrt{35}\right) & y\to -2 (-1)^{3/4} \sqrt{\frac{1}{15} \left(\sqrt{35}+7 i\right)} & b\to \frac{2 \left(\sqrt{35}+i\right)}{3 \sqrt{5}} & c\to -\frac{4 i}{\sqrt{5}} \\
\hline
x\to \frac{2}{15} \left(5+i \sqrt{35}\right) & y\to 2 (-1)^{3/4} \sqrt{\frac{1}{15} \left(\sqrt{35}+7 i\right)} & b\to -\frac{2 \left(\sqrt{35}+i\right)}{3 \sqrt{5}} & c\to \frac{4 i}{\sqrt{5}} \\
\hline
x\to \frac{2}{15} \left(5+i \sqrt{35}\right) & y\to -2 (-1)^{3/4} \sqrt{\frac{1}{15} \left(\sqrt{35}+7 i\right)} & b\to -\frac{2 \left(\sqrt{35}+i\right)}{3 \sqrt{5}} & c\to \frac{4 i}{\sqrt{5}} \\
\hline
\end{array}\]

过滤非负数，得到
\[\begin{array}{llll}
x\to 0 & y\to 0 & b\to 0 & c\to 0 \\
x\to \frac{1}{3} (-2) \left(\sqrt{13}-5\right) & y\to \sqrt{\frac{2}{3} \left(10-2 \sqrt{13}\right)} & b\to \frac{4}{3} \left(\sqrt{13}-2\right) & c\to 2 \left(\sqrt{13}-3\right) \\
x\to \frac{2}{3} \left(\sqrt{13}+5\right) & y\to 2 \sqrt{\frac{1}{3} \left(\sqrt{13}+5\right)} & b\to \frac{4}{3} \left(\sqrt{13}+2\right) & c\to 2 \left(\sqrt{13}+3\right) \\
\end{array}\]
数值化得到
\[\begin{array}{llll}
x\to 0. & y\to 0. & b\to 0. & c\to 0. \\
x\to 0.929632 & y\to 1.36355 & b\to 2.14074 & c\to 1.2111 \\
x\to 5.73703 & y\to 3.38734 & b\to 7.47407 & c\to 13.2111 \\
\end{array}\]

CD的长度得到
\[\left\{-4,\frac{1}{3} (-4) \left(\sqrt{13}-2\right),\frac{4}{3} \left(\sqrt{13}+2\right)\right\}\]
由于CD>=0，因此x>=2

nyy 发表于 2025-4-7 08:47:31

aimisiyou 发表于 2025-4-6 15:56
（8+4√13)/3

你是个人才，我除了余弦定理，就想不出办法了！没别的思路了

aimisiyou 发表于 2025-4-7 09:46:01

nyy 发表于 2025-4-7 08:47
你是个人才，我除了余弦定理，就想不出办法了！没别的思路了

勾股定理。

nyy 发表于 2025-4-7 14:38:06

aimisiyou 发表于 2025-4-7 09:46
勾股定理。

上你的详细代码
或者详细的过程！

王守恩 发表于 2025-4-7 16:28:23

∠DAB=a。∠ABE=b。后面用的是正弦定理。 前面用的是角分线(不一定等分)定理。

Solve[{Sin Sin/(Sin Sin)==1/2==Sin Sin/(Sin Sin), Sqrt*CD/Cos==4/Sin, 1 > a > b > 0}, {a, b, CD}]

nyy 发表于 2025-4-7 18:52:53

王守恩 发表于 2025-4-7 16:28
∠DAB=a。∠ABE=b。后面用的是正弦定理。 前面用的是角分线(不一定等分)定理。

Solve[{Sin Sin/ ...

要有注释有缩进，把代码放到代码框里面，
要有求解结果，把求解结果用latex表达（直接复制转化成）

hejoseph 发表于 2025-4-8 10:30:14

如图，以 \(\overline{BC}\) 为正方向定义直线 \(BC\) 上的有向线段方向，\(BC=a\)，\(DE/AE=k\)，则
\begin{align*}
\overline{BE}&=\frac{2k\csc A\cos B\sin C-1-\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2(k-1)}a\\
\overline{EC}&=\frac{2k\csc A\sin B\cos C-1+\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2(k-1)}a\\
\end{align*}
（此时点 \(D\) 在直线 \(BC\) 上的正射影与点 \(C\) 在 \(BC\) 中点的同侧）
或
\begin{align*}
\overline{BE}&=\frac{2k\csc A\cos B\sin C-1+\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2(k-1)}a\\
\overline{EC}&=\frac{2k\csc A\sin B\cos C-1-\sqrt{1+4k\csc A\sin B\sin C(\cot D-k\csc A\sin B\sin C)}}{2(k-1)}a\\
\end{align*}
（此时点 \(D\) 在直线 \(BC\) 上的正射影与点 \(B\) 在 \(BC\) 中点的同侧）

hejoseph 发表于 2025-4-8 10:34:47

对于 \(\angle A=90^\circ\)，\(\angle B=30^\circ\)，\(\angle C=60^\circ\)，\(\angle D=60^\circ\)，\(k=3/2\)，代入楼上第一组式子就得
\[
\overline{BE}=\frac{5-\sqrt{13}}{4}a，\overline{EC}=\frac{-1+\sqrt{13}}{4}a，
\]
那么
\[
\overline{EC}=\frac{\dfrac{-1+\sqrt{13}}{4}a}{\dfrac{5-\sqrt{13}}{4}a}\times 4=\frac{8+4\sqrt{13}}{3}
\]

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