一阶非线性微分方程的求解
百度贴吧里 有人给出下面的一个微分方程，我给出了解答，比较繁琐，但没人理我，我又不是科班出身，不知道正确不正确，所以贴在这，希望得到澄清~~y'(x)=1/(1+x^2)-2y(x)^2,y(0)=0 类似的还有一个：
$y'(x)=x^2+y(x)^2,y(0)=0$ 你的解法呢?
非线性的很难求解,主要没有固定的求解模式 本帖最后由 数学星空 于 2010-1-6 13:08 编辑
利用软件可以算出:
y'(x)= 1/(1+x^2)-2*y(x)^2
得到:y(x) = (2* c*x+x*arctan(x)+1)/((1+x^2)*arctan(x)+2*c+2*c*x^2+x)
又y(0)=0有c=0
即y(x) = (1+x*arctan(x))/((1+x^2)*arctan(x)+x)
对于第二个方程
y'(x)= x^2+y(x)^2
得到:y(x) = -x*(c*BesselJ(-3/4, (1/2)*x^2)+BesselY(-3/4, (1/2)*x^2))/(c*BesselJ(1/4, (1/2)*x^2)+BesselY(1/4, (1/2)*x^2)) 本帖最后由 wayne 于 2010-1-6 13:38 编辑
这是一个Riccati方程：http://en.wikipedia.org/wiki/Riccati_equation
按照上面的链接，作代换y=p'/(2p),则原方程化成 p''=p/(2(1+x^2)).
而这个二阶齐次的我也解不了，于是我就用了Abel的一个技巧：http://mathworld.wolfram.com/AbelsDifferentialEquationIdentity.html
如果知道了二阶齐次微分方程的一个解，那么另一个独立解可以根据阿贝尔恒等式求出，
已知一个解1+x^2，设另一个解为z，那么，
z'(1+x^2)-z*(1+x^2)'=C(常数)
所以\frac{z}{1+x^2}=\int \frac{C}{(1+x^2)^2}dx
而后面的也折腾我半天，搞的我是用软件算出来的,最后，算出z来了，
z=c(x+(1+x^2)*arctan(x))
所以，p(x)=C_1(1+x^2)+C_2(x+(1+x^2)*arctan(x))
然后，就是确定积分常数了，确定积分常数也很麻烦～～，我几乎是连拼带凑的才得到了最终解：
y(x)=\frac{x}{1+x^2} 本帖最后由 wayne 于 2010-1-6 13:50 编辑
4# 数学星空
谢谢~~
y(0)=0,你把x=0代入你的解，你会发现1/c =0!!
同理，而代入第二个方程，常数没了，式子恒成立,:lol .........
我猜想这个方程的答案是：
\frac{x BesselJ(\frac{3}{4},\frac{x^2}{2})}{BesselJ(-\frac{1}{4},\frac{x^2}{2})} 本帖最后由 数学星空 于 2010-1-6 14:09 编辑
算出这一步p(x)=C_1(1+x^2)+C_2(x+(1+x^2)*arctan(x))后,
再代入y={p'}/(2p)
可以算出:y(x)=(c1*x+c2*x*arctan(x)+c2)/(c1+c1*x^2+c2*arctan(x)+c2*arctan(x)*x^2+c2*x)
又y(0)=0,得到: {c2}/(c1+c2*arctan(0))=0, 即c1=0 或者c2=0
即y(x)=(1+x*arctan(x))/((1+x^2)*arctan(x)+x) (1)
y(x)=x/(1+x^2) (2)
将解(1),(2)代入均成立,即有两个解 本帖最后由 wayne 于 2010-1-6 14:35 编辑
我想到了一个问题
两个可微的函数有共同的连续区间U，如果存在区间I\subU,它们在公共区间I内处处相等，是不是就意味着这两个函数在U内也恒等。
唉，没学数学分析是我的人生一大遗憾，i wonder if i made myself understood,:L 7# 数学星空
好像不满足y(0)=0 4# 数学星空
发现你在4#初值代错了，所以产生了这个不正确的解，~~