一阶非线性微分方程的求解

wayne

百度贴吧里 有人给出下面的一个微分方程，我给出了解答，比较繁琐，但没人理我，我又不是科班出身，不知道正确不正确，所以贴在这，希望得到澄清~~

$y'(x)=1/(1+x^2)-2y(x)^2,y(0)=0$

wayne

类似的还有一个：

$y'(x)=x^2+y(x)^2,y(0)=0$

mathe

你的解法呢?
非线性的很难求解,主要没有固定的求解模式

数学星空

利用软件可以算出:
$y'(x)= 1/(1+x^2)-2*y(x)^2$
得到:$y(x) = (2* c*x+x*arctan(x)+1)/((1+x^2)*arctan(x)+2*c+2*c*x^2+x)$
          又$y(0)=0  $有$c=0$
           即$y(x) = (1+x*arctan(x))/((1+x^2)*arctan(x)+x)$
对于第二个方程
$y'(x)= x^2+y(x)^2$
得到:$y(x) = -x*(c*BesselJ(-3/4, (1/2)*x^2)+BesselY(-3/4, (1/2)*x^2))/(c*BesselJ(1/4, (1/2)*x^2)+BesselY(1/4, (1/2)*x^2))$

wayne

这是一个Riccati方程：http://en.wikipedia.org/wiki/Riccati_equation
按照上面的链接，作代换y=p'/(2p),则原方程化成 p''=p/(2(1+x^2)).
而这个二阶齐次的我也解不了，于是我就用了Abel的一个技巧：http://mathworld.wolfram.com/AbelsDifferentialEquationIdentity.html
如果知道了二阶齐次微分方程的一个解，那么另一个独立解可以根据阿贝尔恒等式求出，
已知一个解1+x^2，设另一个解为z，那么，
z'(1+x^2)-z*(1+x^2)'=C(常数)
所以$\frac{z}{1+x^2}=\int \frac{C}{(1+x^2)^2}dx$
而后面的也折腾我半天，搞的我是用软件算出来的,最后，算出z来了，
$z=c(x+(1+x^2)*arctan(x))$
所以，$p(x)=C_1(1+x^2)+C_2(x+(1+x^2)*arctan(x))$
然后，就是确定积分常数了，确定积分常数也很麻烦～～，我几乎是连拼带凑的才得到了最终解：
$y(x)=\frac{x}{1+x^2}$

wayne

4# 数学星空

谢谢~~

y(0)=0,你把x=0代入你的解，你会发现1/c =0!!
同理，而代入第二个方程，常数没了，式子恒成立, .........
我猜想这个方程的答案是：
$\frac{x BesselJ(\frac{3}{4},\frac{x^2}{2})}{BesselJ(-\frac{1}{4},\frac{x^2}{2})}$

数学星空

算出这一步$p(x)=C_1(1+x^2)+C_2(x+(1+x^2)*arctan(x))$后,
再代入$y={p'}/(2p)$
可以算出:$y(x)=(c1*x+c2*x*arctan(x)+c2)/(c1+c1*x^2+c2*arctan(x)+c2*arctan(x)*x^2+c2*x)$
又$y(0)=0$,得到: ${c2}/(c1+c2*arctan(0))=0, 即c1=0 或者c2=0$
即$y(x)=(1+x*arctan(x))/((1+x^2)*arctan(x)+x)$   (1)
    $y(x)=x/(1+x^2) $  (2)
将解(1),(2)代入均成立,即有两个解

wayne

我想到了一个问题

两个可微的函数有共同的连续区间U，如果存在区间$I\subU$,它们在公共区间I内处处相等，是不是就意味着这两个函数在U内也恒等。

唉，没学数学分析是我的人生一大遗憾，i wonder if i made myself understood,

wayne

7# 数学星空


好像不满足y(0)=0

wayne

4# 数学星空

发现你在4#初值代错了，所以产生了这个不正确的解，~~