sin(18°)为${sqrt(5)-1}/4$可以表达成根式形式
我们知道,如果sin(2x)可以根式表示,那么sin(x)也可以根式表示(解二次方程).
而如果sin(3x)可以根式表示,那么sin(x)也可以根式表示(解三次方程)
由此可以得出sin1° 是有根式表达式的
本帖最后由 wayne 于 2010-1-19 18:02 编辑
a=sin(18°)为${sqrt(5)-1}/4$
b=cos(18°)为$\sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}}$
c=sin(15°)为$\frac{-1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$
d=cos(15°)为$\frac{1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$
然后就是解方程3x-4x^3=ad-bc,即可
Q=ad-bc=\frac{1}{16}(\sqrt{2}(1+\sqrt{3})(-1+\sqrt{5})-2(-1+\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}} )
sin(1°)=-\frac{1-\sqrt{3}\i}{4(-Q+\sqrt{-1+Q^2})^{1/3}}-\frac{1}{4}(1+ \sqrt{3}\i)(-Q+\sqrt{-1+Q^2})^{1/3}
sin(18°)为${sqrt(5)-1}/4$可以表达成根式形式
我们知道,如果sin(2x)可以根式表示,那么sin(x)也可以根式表示(解二次方程).
而如果sin(3x)可以根式表示,那么sin(x)也可以根式表示(解三次方程)
由此可以得出sin1° ...
mathe 发表于 2010-1-19 17:26 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
谢谢mathe，看来wolfram网站的那句话我还没看仔细：
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/introductions/Sin/05/
The values of http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/introductions/Sin/05/02/imagetext/0008/text08.gif can be expressed using only square roots if http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/introductions/Sin/05/02/imagetext/0009/text09.gif and http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/introductions/Sin/05/02/imagetext/0010/text10.gif is a product of a power of 2 and distinct Fermat primes {3, 5, 17, 257, …}.
本帖最后由 数学星空 于 2010-1-20 10:27 编辑
以下是sin(pi/180) 的解析式(3种不同的效果,为方便查看细节,其实和42#答案一样)
(1)
(2)
(3)
不过能够被尺规出来的最小角度应该是3°，虽然1°能够有解析表达式。
上面描述不严谨啊。
因为可平分任意角，就不存在最小角度的问题。
不过能够被尺规出来的最小角度应该是3°，虽然1°能够有解析表达式。
mathematica 发表于 2010-2-28 15:50 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
能够被尺规出来的最小正整数角度应该是3°，虽然1°能够有解析表达式，但含有开立方，因此不能用尺规作出。。
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/三角函数精确值
还有： 非整数角度
真的觉得复杂而精确的代数表达式是一种美。
sin(pi/65537)这个谁能给一个？？？？？？？？