数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
楼主: 数学星空

[欣赏] 复杂的sin(pi/257)解析式

[复制链接]
发表于 2010-1-19 17:26:44 | 显示全部楼层
sin(18°)为${sqrt(5)-1}/4$可以表达成根式形式
我们知道,如果sin(2x)可以根式表示,那么sin(x)也可以根式表示(解二次方程).
而如果sin(3x)可以根式表示,那么sin(x)也可以根式表示(解三次方程)
由此可以得出sin1° 是有根式表达式的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-1-19 17:33:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 wayne 于 2010-1-19 18:02 编辑

a=sin(18°)为${sqrt(5)-1}/4$
b=cos(18°)为$\sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}}$
c=sin(15°)为$\frac{-1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$
d=cos(15°)为$\frac{1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$
然后就是解方程3x-4x^3=ad-bc,即可
Q=ad-bc=$\frac{1}{16}(\sqrt{2}(1+\sqrt{3})(-1+\sqrt{5})-2(-1+\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}} )$
sin(1°)=$-\frac{1-\sqrt{3}\i}{4(-Q+\sqrt{-1+Q^2})^{1/3}}-\frac{1}{4}(1+ \sqrt{3}\i)(-Q+\sqrt{-1+Q^2})^{1/3}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-1-19 18:45:41 | 显示全部楼层
sin(18°)为${sqrt(5)-1}/4$可以表达成根式形式
我们知道,如果sin(2x)可以根式表示,那么sin(x)也可以根式表示(解二次方程).
而如果sin(3x)可以根式表示,那么sin(x)也可以根式表示(解三次方程)
由此可以得出sin1° ...
mathe 发表于 2010-1-19 17:26

谢谢mathe,看来wolfram网站的那句话我还没看仔细:

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/introductions/Sin/05/

The values of can be expressed using only square roots if and is a product of a power of 2 and distinct Fermat primes {3, 5, 17, 257, …}.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-1-20 10:19:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 数学星空 于 2010-1-20 10:27 编辑

以下是$sin(pi/180)$ 的解析式(3种不同的效果,为方便查看细节,其实和42#答案一样)
(1)


(2)


(3)

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-2-28 15:50:49 | 显示全部楼层
不过能够被尺规出来的最小角度应该是3°,虽然1°能够有解析表达式。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-2-28 18:51:55 | 显示全部楼层
上面描述不严谨啊。
因为可平分任意角,就不存在最小角度的问题。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-2-28 19:00:03 | 显示全部楼层
不过能够被尺规出来的最小角度应该是3°,虽然1°能够有解析表达式。
mathematica 发表于 2010-2-28 15:50

能够被尺规出来的最小正整数角度应该是3°,虽然1°能够有解析表达式,但含有开立方,因此不能用尺规作出。。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-6-7 16:18:01 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-4-20 19:44:22 | 显示全部楼层
真的觉得复杂而精确的代数表达式是一种美。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-8-28 09:03:58 | 显示全部楼层
sin(pi/65537)这个谁能给一个????????
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-10-17 03:05 , Processed in 0.097875 second(s), 19 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表