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楼主: 数学星空

[欣赏] 复杂的sin(pi/257)解析式

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发表于 2014-1-28 13:10:14 | 显示全部楼层
揭开sin(pi/257)作图的神秘面纱(维基百科网上找到的,望高手鉴定)
http://zh.wikipedia.org/wiki/二百五十七邊形
早在古代,就有人能用直尺和圆规作出正三角形、正方形和正五边形了。可是,利用尺规来作正七边形或正十一边形或正十三边形的任何尝试,却都是以失败而告终。
     这种局面持续了2千多年,数学家们猜想,凡是边数为素数的正多边形(如正七、正十一、正十三边形等)看来用圆规和直尺是作不出来的。但是在1796年,完全出乎数学界的意料之外,19岁的德国青年数学家高斯找到了用圆规和直尺来作边数为素数的正十七边形的方法。这个成就是如此辉煌,不仅使数学界为之轰动,而且也促使高斯把数学选为自己的终身职业。
     五年以后,高斯又进一步宣布了能否作任意正多边形的判据。他证明了下面的定理:凡是边数为“费尔马素数”(即边数是 2^2^n+l 形状的数,而且还要是素数)的正多边形,就一定可以用尺规来作图。当n=2时,就是正十七边形;当n=3时,就是正二百五十七边形;当n=4时,就是正六万五千五百三十七边形……他还证明了,如果边数是素数,但不是费尔马素数的话(例如上面所提到过的正七边形,正十一边形等),那末这样的正多边形就不能用圆规和直尺来作出。
     紧接在17以后的两个“费尔马素数”是257和65537。后来,数学家黎西罗果然给出了正二百五十七边形的完善作法,写满了整整80页纸。
另一位数学家盖尔美斯按照高斯的方法,得出了正六万五千五百三十七边形的尺规作图方法,他的手稿装满了整整一只手提皮箱,至今还保存在德国的著名学府哥庭根大学里。这道几何作图题的证明,可说是最为繁琐的了。

这是加速版(为了节省空间,编了我好久)

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辛苦了  发表于 2014-6-29 07:57
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-28 14:54:11 | 显示全部楼层
葡萄糖 发表于 2014-1-28 13:10
揭开sin(pi/257)作图的神秘面纱(维基百科网上找到的,望高手鉴定)
http://zh.wikipedia.org/wiki/二百五十 ...

动画很不错,证明人比动物聪明多了
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发表于 2014-6-28 15:23:51 | 显示全部楼层
sin(pi/257)
把这个过程给出来一下吧
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 楼主| 发表于 2015-1-9 20:32:23 | 显示全部楼层
通过近一个星期的研究计算,终于算出了\(2\cos(\frac{2\pi}{257})\)的根式表达式,具体可见附件,有兴趣的也可以
仿照验算一下

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发表于 2015-10-13 08:31:17 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2010-1-19 17:33
a=sin(18°)为${sqrt(5)-1}/4$
b=cos(18°)为$\sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}}$
c=sin(15°)为$\f ...

sin1°的表达式如下:


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发表于 2015-10-15 21:35:31 | 显示全部楼层
数学星空 发表于 2010-1-19 16:17
$sin1°= $
[TeX]root{3}{-{(sqrt(5)-1)(sqrt(6)+sqrt(2))}/128+{sqrt(10+2sqrt(5))(sqrt(6) ...

那个公式不是 sin1°,改个符号以后是 cos31° 的公式:

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发表于 2015-10-17 09:53:37 | 显示全部楼层
下面这个是另一种公式,特点是式中不含有虚数单位 i :

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2015-10-18 09:32:13 | 显示全部楼层
还有另一些角度的余弦表达式如下。这些公式其实都是本网站【数学星空】的专利:

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发表于 2015-10-18 09:36:42 | 显示全部楼层
本帖35楼那个 sin1° 的公式,始终没有验证成功,可能那个公式是不对的。
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发表于 2015-10-22 17:03:59 | 显示全部楼层
下面这些公式也是正确的:

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