球体的引力问题
两个距离r的、质量分别为M、m的物体，它们之间的引力为：F=\frac{GMm}{r^2}那么，一个半径为R、质量为M的均匀实心球体，表面有一质量为m质点，那么请问该质点所受到的引力有多大？
物理书上是以球体质量全部集中在球心来直接代入公式解决的，但我觉得m与球体的每一个点的距离都不同，严格论证应该用积分来解决的。但我列不出这道积分，请大家帮一下忙。 本帖最后由 wayne 于 2010-2-5 17:39 编辑
方法很多啊，看你怎么选取微元了，如果选择体积元dV，则这样列式子
\int\int\int\frac{R-x}{((R-x)^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}dV
积分区域\Omega是(x-R)^2+y^2+z^2<=R^2
也可以选择面积元，大致思路就是把球按垂直x轴的方向无限切分成许多的小圆盘，先算出圆盘对其轴心线的质点的万有引力公式，然后再在区间(-R,R)对x进行积分即可，这种思路其实就是在解上面的三重积分。
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试了好几次，还是不知道怎么把\Omega放在三重积分的下面，:L Wayne就是牛，我在读书时对积分非常的不感冒，现在感觉有些后悔哦 :L
我也是凭印象解题，好久没碰物理题了，错了大家就直接扔砖头啊，我也好温习温习一下 虽然我目前还没有得到答案，但是个人感觉这是四重积分 本帖最后由 282842712474 于 2010-2-5 23:06 编辑
有答案了，结果的关键是三重积分：
$\int_0^{2R} dz \int_{-R}^R dy \int_{-R}^R (\frac{1}{x^2+y^2+z^2})dx$
该积分的结果能够有精确的表达式吗？如果没有，谁可以提一条近似的表达式吗？我只能够求出一层积分的结果，也就是一个质点与一根棒子之间的引力
我用waxima求不出来 你的式子是不正确的～～ 本帖最后由 282842712474 于 2010-2-6 00:00 编辑
你的式子是不正确的～～
wayne 发表于 2010-2-5 23:26 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
嗯，抱歉，刚才看少了
正确的应该是：
$\int\int\int\frac{1}{x^2+y^2+(R-z)^2 }d\varphi d\theta dr$
积分区域D就是以原点为球心的边境为R的球体
不想了，先休息。哪位有空的朋友帮忙求一下，先谢谢了 还是不正确 还是不正确
wayne 发表于 2010-2-5 23:55 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
能够讲讲你的思路吗？