球体的引力问题

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两个距离r的、质量分别为M、m的物体，它们之间的引力为：$F=\frac{GMm}{r^2}$ 那么，一个半径为R、质量为M的均匀实心球体，表面有一质量为m质点，那么请问该质点所受到的引力有多大？ 物理书上是以球体质量全部集中在球心来直接代入公式解决的，但我觉得m与球体的每一个点的距离都不同，严格论证应该用积分来解决的。但我列不出这道积分，请大家帮一下忙。

wayne

方法很多啊，看你怎么选取微元了，如果选择体积元dV，则这样列式子 $\int\int\int\frac{R-x}{((R-x)^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}dV$ 积分区域$\Omega$是$(x-R)^2+y^2+z^2<=R^2$ 也可以选择面积元，大致思路就是把球按垂直x轴的方向无限切分成许多的小圆盘，先算出圆盘对其轴心线的质点的万有引力公式，然后再在区间(-R,R)对x进行积分即可，这种思路其实就是在解上面的三重积分。 =================================== 试了好几次，还是不知道怎么把$\Omega$放在三重积分的下面，

qianyb

Wayne就是牛，我在读书时对积分非常的不感冒，现在感觉有些后悔哦

wayne

我也是凭印象解题，好久没碰物理题了，错了大家就直接扔砖头啊，我也好温习温习一下

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虽然我目前还没有得到答案，但是个人感觉这是四重积分

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有答案了，结果的关键是三重积分： $\int_0^{2R} dz \int_{-R}^R dy \int_{-R}^R (\frac{1}{x^2+y^2+z^2})dx$ 该积分的结果能够有精确的表达式吗？如果没有，谁可以提一条近似的表达式吗？我只能够求出一层积分的结果，也就是一个质点与一根棒子之间的引力 我用waxima求不出来

wayne

你的式子是不正确的～～

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你的式子是不正确的～～ wayne 发表于 2010-2-5 23:26

嗯，抱歉，刚才看少了 正确的应该是： $\int\int\int\frac{1}{x^2+y^2+(R-z)^2 }d\varphi d\theta dr$ 积分区域D就是以原点为球心的边境为R的球体 不想了，先休息。哪位有空的朋友帮忙求一下，先谢谢了

wayne

还是不正确

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还是不正确 wayne 发表于 2010-2-5 23:55

能够讲讲你的思路吗？