球体的引力问题

282842712474

我知道我错在哪里了，我是简单地把各个方向的力叠加起来，其实力是矢量，不同方向的力要通过平行四边形法则合成。wayne 的结果是对的

zgg___

当年，我还真的认认真真的积分的一遍呢，能得到相同的结果的。 为什么要算呢，也是因为不相信这么巧。赫赫。 后来学了高斯定律，才发现其中的巧妙。 在后来学了场论，就觉得这个很自然了。 简单的说就是： 三维空间中，平方反比的力可以构成所谓的场。 可以想象空间中的穿梭的电力线来表示。 这些线密的地方，力就大，力的大小正比于线的密度。 这些线的起点和终点都是质点，中间不会有分叉。这有点象水流，质点就是龙头。 又因为球的对称性，球面上各点的线的密度都是一样的，所以，球面上线的分布就和所有质量都集中在球心的分布是一样的了。所以引力算出来也是一样的了。

282842712474

当年，我还真的认认真真的积分的一遍呢，能得到相同的结果的。 为什么要算呢，也是因为不相信这么巧。赫赫。 后来学了高斯定律，才发现其中的巧妙。 在后来学了场论，就觉得这个很自然了。 简单的说就是： 三维 ... zgg___ 发表于 2010-2-8 11:57

目前还没有研究得如此深入，不过现在每当遇到一个问题，都会用自己的方法去解答一遍，领略其中的奥妙和乐趣。 即便在高中范围，我们的物理/数学结果很多都是近似的，要想精确，只能靠自己钻研

KeyTo9_Fans

当年，我还真的认认真真的积分的一遍呢，能得到相同的结果的。 为什么要算呢，也是因为不相信这么巧。赫赫。 后来学了高斯定律，才发现其中的巧妙。 在后来学了场论，就觉得这个很自然了。 简单的说就是： 三维 ... zgg___ 发表于 2010-2-8 11:57

你比我强，居然积出来了。 我一遇到复杂的积分就懒得算了。 所以随机撒点测试。 初中的时候用Pascal语言写了一个程序。 使用物理书上的数据，随机撒点测试出来的重力加速度居然高达35.98。 但硬是不知道程序错在哪。 现在程序找不到了，所以无从考证了。 也许是犯了11#的错误吧。 刚才用C++语言重新写一遍。 总算得到了比较合理的结果。 测试原理示意图： 撒的点越多，计算出来的合力就与真实的重力越接近。 程序代码如下：

1. #include<cstdio>
2. #include<cstdlib>
3. #include<cmath>
5. double fx,fy,fz,x,y,z,d2,d,f,r,m,G;
6. unsigned int points;
8. double random() //产生一个(-r,r)内的随机实数
9. {
10. return((rand()<<15)+rand()+0.5)/84.2678661-r;
11. }
13. int main()
14. {
15. r=6371004; //球体半径(m)
16. m=5.972e+24; //球体质量(kg)
17. G=6.6699e-11; //万有引力常数(m^3/(kg*s^2))
18. /*
19. 球心坐标: (0,0,0)
20. 观测点坐标: (0,0,6371004)
21. 观测点质量(kg): 1
22. */
23. while(1) //死循环，手动停止运行
24. {
25. x=random(); //在(±r,±r,±r)的立方体区域内随机撒点
26. y=random(); //在(±r,±r,±r)的立方体区域内随机撒点
27. z=random(); //在(±r,±r,±r)的立方体区域内随机撒点
28. if(x*x+y*y+z*z<r*r) //如果该点在球体内部
29. {
30. points++; //计数
31. d2=x*x+y*y+(z-r)*(z-r); //计算该点与观测点之间的距离的二次方
32. d=sqrt(d2); //计算该点与观测点之间的距离
33. f=G*m/d2; //计算观测点受该点的作用力大小
34. fx+=f*x/d; //累加x方向作用力
35. fy+=f*y/d; //累加y方向作用力
36. fz+=f*(z-r)/d; //累加z方向作用力
37. if(!(points&(points-1))) //如果撒点数量为2的幂
38. printf("%d points:\nfx=%lf\nfy=%lf\nfz=%lf\n\n",points,fx/points,fy/points,fz/points); //输出作用力的累加结果
39. }
40. }
41. return 0;
42. }

复制代码

输出结果如下：

1. 1 points:
2. fx=-0.504992
3. fy=1.089107
4. fz=-2.786112
6. 2 points:
7. fx=0.045807
8. fy=0.266773
9. fz=-2.680663
11. 4 points:
12. fx=6.654460
13. fy=0.611433
14. fz=-4.832651
16. 8 points:
17. fx=3.145399
18. fy=-0.198672
19. fz=-8.535033
21. 16 points:
22. fx=6.883737
23. fy=-16.238135
24. fz=-21.631994
26. 32 points:
27. fx=4.481852
28. fy=-7.696729
29. fz=-14.273876
31. 64 points:
32. fx=3.052186
33. fy=-3.985701
34. fz=-10.637478
36. 128 points:
37. fx=0.850507
38. fy=-2.367781
39. fz=-9.573686
41. 256 points:
42. fx=0.985709
43. fy=-2.412828
44. fz=-9.164519
46. 512 points:
47. fx=-1.149785
48. fy=0.767298
49. fz=-9.200110
51. 1024 points:
52. fx=0.498825
53. fy=3.954861
54. fz=-10.622059
56. 2048 points:
57. fx=0.788642
58. fy=1.260368
59. fz=-10.189412
61. 4096 points:
62. fx=0.670000
63. fy=0.627230
64. fz=-9.475491
66. 8192 points:
67. fx=0.469960
68. fy=0.313758
69. fz=-9.538444
71. 16384 points:
72. fx=0.231084
73. fy=0.060587
74. fz=-9.396589
76. 32768 points:
77. fx=0.152588
78. fy=0.075723
79. fz=-9.518079
81. 65536 points:
82. fx=0.012187
83. fy=0.639470
84. fz=-9.928055
86. 131072 points:
87. fx=-0.006771
88. fy=0.548331
89. fz=-9.798466
91. 262144 points:
92. fx=-0.038481
93. fy=0.198065
94. fz=-9.653929
96. 524288 points:
97. fx=-0.062438
98. fy=0.136324
99. fz=-9.654400
101. 1048576 points:
102. fx=-0.090212
103. fy=0.090709
104. fz=-9.735008
106. 2097152 points:
107. fx=-0.018408
108. fy=0.018729
109. fz=-9.817123
111. 4194304 points:
112. fx=-0.042417
113. fy=-0.016079
114. fz=-9.807387
116. 8388608 points:
117. fx=0.005726
118. fy=0.034669
119. fz=-9.816914
121. 16777216 points:
122. fx=-0.000047
123. fy=-0.004595
124. fz=-9.802623
126. 33554432 points:
127. fx=-0.009231
128. fy=0.039061
129. fz=-9.798101
131. 67108864 points:
132. fx=0.025819
133. fy=0.045322
134. fz=-9.807124
136. 134217728 points:
137. fx=0.018054
138. fy=0.014610
139. fz=-9.793641
141. 268435456 points:
142. fx=0.007861
143. fy=-0.003544
144. fz=-9.794530
146. 536870912 points:
147. fx=-0.006209
148. fy=-0.005673
149. fz=-9.805951
151. 1073741824 points:
152. fx=-0.007044
153. fy=-0.004944
154. fz=-9.806332
156. -2147483648 points:
157. fx=-0.006682
158. fy=-0.004939
159. fz=-9.806913

复制代码

最后的计数是负的可能是整数过大，超出了int的范围。 理想的结果应该是$fx=fy=0$，$fz=g$。 根据$fx$和$fy$的测量值可以大致地估计出$fz$与真实值的偏差。

风云剑

随机法数值积分

282842712474

随机法数值积分 风云剑 发表于 2010-2-9 17:22

懒人其实更牛！不牛怎么能懒呢？ 其实这个积分不难，用极坐标（应该是柱形变换吧）变换一下就搞掂了。

倪举鹏

巧啊，这问题我高三时候就积分积出来了，结果很简单的。就算人在深矿井里，或者是飞机上，都算出来了。我只用一阶积分，分层的积，等有空将答案贴上。这问题有那么难么？楼上都像杀鸡用牛刀啊

倪举鹏

三次积分积出来了  质点在球表面或者球外 引力很巧就是GMm/r^2  质点在球内(2 G m [Pi] (4 r^3 - 3 r^2 R + R^3 + r R Sqrt[-3 r^2 + 2 r R + R^2] -
    R^2 Sqrt[-3 r^2 + 2 r R + R^2]) [Mu])/(3 r^2)      

mathe

我们可以分析球面和质点之间的引力，设球面半径为r，质点到球心距离为R.然后我们将球面用一些垂直于质点球心连线的平行平面切分，如果这些平面间等距，我们可以知道球面被切成一些面积相等的小环，而每个环对质点的引力的合力显然垂直这些切面，于是非常容易表示，就变成一个一阶积分问题了

mathe

经计算质量为M的球面对质点m的引力为\(\displaystyle \frac{GmM}{2r}\int_{-r}^r\frac{R-h}{(R^2+r^2-2Rh)^{\frac{3}{2}}}dh\)
在\(R>r\)时结果为\(\frac{GmM}{R^2}\),而在\(R<r\)时结果为\(0\)。
由此我们得出质点在球外面时，相当于球的所有质量都集中在球心时产生的引力，即\(\frac{GmM}{R^2}\)。
而质点在球内部时，相当于球的半径只有等于质点到球心部分距离的那部分球产生的引力。由于这部分质量只有\(\frac{MR^3}{r^3}\),所以产生的引力为\(\frac{GmMR^3}{r^5}\)