计算[N+(N-1)+...+1]+[(N-1)+(N-2)+...+1]+...+[2+1]+1的值
定义S(1)=1+1,S(2)=(2+1)+1,S(3)=(3+2+1)+(2+1)+1...如何求S(N)=+[(N-1)+(N-2)+...+(2+1)+1]+...++1的值 n^2(n+1)/2 本帖最后由 qianyb 于 2010-3-30 15:37 编辑
这个公式不对吧
S（1)=2 >>>1^2*2/2=1
S(2)=4>>>2^2*3/2=6
S(3)=10>>>3^2*4/2=18
S(4)=20>>>4^2*5/2=40
S(5)=35>>>5^2*6/2=75 可以用待定系数法，令 S(n)=an^3+bn^2+c*n+d，其中 a,b,c,d 为待定系数。
代入恒等方程 S(n) - S(n-1)=(n(n+1))/2 ，比较对应项系数建立方程组，
或分别令 n=1,2,3,4 代入待定式建立方程组，
解之即可。 恩，是不对，呵呵。
应该是n(n+1)(n+2)/6，当n=1时，为2。呵呵。 S(1)的定义和其它的不统一，最好S(1)定义为1
于是
S(N)=1+(1+2)+...+(1+2+...+N)
$=\sum_{t=1}^N {(1+t)t}/2=\sum_{t=1}^N({(t+2)(t+1)t}/{3!}-({(t+1)t(t-1)}/{3!})$
$={(N+2)(N+1)N}/6$ 呵呵，我不大懂数学定义，谢谢指正 S(n) =(n(n+1)(n+2))/6 本帖最后由 wayne 于 2010-3-30 16:06 编辑
利用组合数的定义来吧：
$S(N)=C_2^2+C_3^2+......+C_{N+1}^2$
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S(1)应该为1吧？ 本帖最后由 只是呼吸 于 2010-3-31 15:23 编辑
这个就是“杨辉三角形”中的一个数列！
把“杨辉三角形”写在纸上：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
…………………………………………………………
可以看出，从上向左下倾斜的第三列，就是楼主的那个数列。其和是以这个第三列的最后一个数指向的右下一位，就是这个数列的和。比如说求1+3+6+10+15的和，那你就找到这个数列（倾斜的第三列）的15这个数，然后指向右下方的一位数，35，就是1+3+6+10+15的和。
在“杨辉三角形”中，任意一列从上向左下的数列求和，其和值都是数列的末一位数所指向的右下方的那一位数。比如说：倾斜的第一列中，1+1+1+1+1+1=6，这个数列的最末一个数指向右下方对应的是6。
又比如说：倾斜的第四列中，1+4+10+20=35，这个数列的最末一个数指向右下方对应的数是35。
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