计算[N+(N-1)+...+1]+[(N-1)+(N-2)+...+1]+...+[2+1]+1的值

qianyb

定义S(1)=1+1,S(2)=(2+1)+1,S(3)=(3+2+1)+(2+1)+1...
如何求S(N)=[N+(N-1)+(N-2)+...+(2+1)+1]+[(N-1)+(N-2)+...+(2+1)+1]+...+[2+1]+1的值

zgg___

n^2(n+1)/2

qianyb

这个公式不对吧
S（1)=2 >>>1^2*2/2=1
S(2)=4>>>2^2*3/2=6
S(3)=10>>>3^2*4/2=18
S(4)=20>>>4^2*5/2=40
S(5)=35>>>5^2*6/2=75

gxqcn

可以用待定系数法，令 $S(n)=an^3+bn^2+c*n+d$，其中 $a,b,c,d$ 为待定系数。

代入恒等方程 $S(n) - S(n-1)=(n(n+1))/2 $，比较对应项系数建立方程组，
或分别令 $n=1,2,3,4$ 代入待定式建立方程组，
解之即可。

zgg___

恩，是不对，呵呵。
应该是n(n+1)(n+2)/6，当n=1时，为2。呵呵。

mathe

S(1)的定义和其它的不统一，最好S(1)定义为1
于是
S(N)=1+(1+2)+...+(1+2+...+N)
$=\sum_{t=1}^N {(1+t)t}/2=\sum_{t=1}^N({(t+2)(t+1)t}/{3!}-({(t+1)t(t-1)}/{3!})$
$={(N+2)(N+1)N}/6$

qianyb

呵呵，我不大懂数学定义，谢谢指正

gxqcn

$S(n) =(n(n+1)(n+2))/6$

wayne

利用组合数的定义来吧：

$S(N)=C_2^2+C_3^2+......+C_{N+1}^2$

=======================================

S(1)应该为1吧？

只是呼吸

这个就是“杨辉三角形”中的一个数列！
把“杨辉三角形”写在纸上：
                                                                 1
                                                            1       1
                                                       1       2       1
                                                   1       3       3      1
                                              1       4       6        4      1
                                          1       5       10      10     5      1
                                      1      6       15      20     15     6      1
                                  1      7      21      35      35      21    7      1
                          …………………………………………………………
    可以看出，从上向左下倾斜的第三列，就是楼主的那个数列。其和是以这个第三列的最后一个数指向的右下一位，就是这个数列的和。比如说求1+3+6+10+15的和，那你就找到这个数列（倾斜的第三列）的15这个数，然后指向右下方的一位数，35，就是1+3+6+10+15的和。
     在“杨辉三角形”中，任意一列从上向左下的数列求和，其和值都是数列的末一位数所指向的右下方的那一位数。比如说：倾斜的第一列中，1+1+1+1+1+1=6，这个数列的最末一个数指向右下方对应的是6。
   又比如说：倾斜的第四列中，1+4+10+20=35，这个数列的最末一个数指向右下方对应的数是35。