计算[N+(N-1)+...+1]+[(N-1)+(N-2)+...+1]+...+[2+1]+1的值

qianyb

定义S(1)=1+1,S(2)=(2+1)+1,S(3)=(3+2+1)+(2+1)+1... 如何求S(N)=[N+(N-1)+(N-2)+...+(2+1)+1]+[(N-1)+(N-2)+...+(2+1)+1]+...+[2+1]+1的值

zgg___

n^2(n+1)/2

qianyb

这个公式不对吧 S（1)=2 >>>1^2*2/2=1 S(2)=4>>>2^2*3/2=6 S(3)=10>>>3^2*4/2=18 S(4)=20>>>4^2*5/2=40 S(5)=35>>>5^2*6/2=75

gxqcn

可以用待定系数法，令 $S(n)=an^3+bn^2+c*n+d$，其中 $a,b,c,d$ 为待定系数。 代入恒等方程 $S(n) - S(n-1)=(n(n+1))/2 $，比较对应项系数建立方程组， 或分别令 $n=1,2,3,4$ 代入待定式建立方程组， 解之即可。

zgg___

恩，是不对，呵呵。 应该是n(n+1)(n+2)/6，当n=1时，为2。呵呵。

mathe

S(1)的定义和其它的不统一，最好S(1)定义为1 于是 S(N)=1+(1+2)+...+(1+2+...+N) $=\sum_{t=1}^N {(1+t)t}/2=\sum_{t=1}^N({(t+2)(t+1)t}/{3!}-({(t+1)t(t-1)}/{3!})$ $={(N+2)(N+1)N}/6$

qianyb

呵呵，我不大懂数学定义，谢谢指正

gxqcn

$S(n) =(n(n+1)(n+2))/6$

wayne

利用组合数的定义来吧： $S(N)=C_2^2+C_3^2+......+C_{N+1}^2$ ======================================= S(1)应该为1吧？

只是呼吸

这个就是“杨辉三角形”中的一个数列！ 把“杨辉三角形”写在纸上： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ………………………………………………………… 可以看出，从上向左下倾斜的第三列，就是楼主的那个数列。其和是以这个第三列的最后一个数指向的右下一位，就是这个数列的和。比如说求1+3+6+10+15的和，那你就找到这个数列（倾斜的第三列）的15这个数，然后指向右下方的一位数，35，就是1+3+6+10+15的和。 在“杨辉三角形”中，任意一列从上向左下的数列求和，其和值都是数列的末一位数所指向的右下方的那一位数。比如说：倾斜的第一列中，1+1+1+1+1+1=6，这个数列的最末一个数指向右下方对应的是6。 又比如说：倾斜的第四列中，1+4+10+20=35，这个数列的最末一个数指向右下方对应的数是35。