对于偶数的情况，偶数项和奇数项的特征方程是一样的，但表达式不是(x-1)SK(x)
比如：K=4
偶数项的特征方程是：
$(-1+x)^4 (1+x+x^2)$
wayne 发表于 2010-4-30 23:54 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
$(-1+x)^4 (1+x+x^2)$
是
$(1-x)(1-x^2)^2(1-x^3)$的因子，是不是K是偶数时，特征方程都是
$(1-x)(1-x^2)^2(1-x^3)...(1-x^{K-1})$的因子呢（或者对于K>4相等？）
本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2010-5-7 22:48 编辑
算了一下14元的
$(x^2-1)Y_14(x)$
补充一下代码：data = Block[{k = 14}, Table, {x,0,n k}], (n+1) k/2], {n, k,200}]]d = FindLinearRecurrence; dlen = Length; (x^dlen - d.x^Range)/Product // Simplify
所以看来都是$(x^2-1)Y_K(x)$的因子
于是现在我们可以来如下计算母函数，假设数列为
$a_0,a_1,...,a_n,...$
我们计算
$(a_0+a_1*x+...+a_n*x^n+..)*(x^2-1)Y_K(x)$
对于得到的乘法结果，我们只取所有次数低于$(x^2-1)Y_K(x)$的最高次数的部分，得到$T_K(x)$
那么${T_K(x)}/{(x^2-1)Y_K(x)}$就是结果了
81# mathe
是的，这个可以根据80楼给出的表达式，把系数方程倒过来乘以x^2-1一下即可
不过我计算过K=6时所有项（同时包含奇数和偶数项）时的母函数为
$ {x^10 + x^8 + 3*x^7 + 4*x^6 + 4*x^5 + 4*x^4 + 3*x^3 + x^2 + 1}/{x^17 - x^16 - 2*x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 - 2*x^9 - 2*x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 - 2*x^2 - x + 1}$
好像不是很规律
我算过通项公式，很复杂，所以，我感觉母函数也不会很简洁的
算了16元的特征方程,把前面的总结一下，偶数的规律应该可以确定了：
4元： (-1+x)Y_4(x)
6元： (x^2-1)Y_6(x)
8元：\frac{-1+x}{1-x+x^2}Y_8(x)
10元： (x^2-1)Y_10(x)
12元：\frac{-1+x}{1-x+x^2-x^3+x^4}Y_12(x)
14元：(x^2-1)Y_14(x)
16元：\frac{-1+x}{1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6}Y_16(x)
我也计算了以下，发现对于偶数情况，应该还能够化简，
比如
4元:${x-1}/{x+1}Y_4(x)$
6元:${x-1}/{(x+1)(x^2+1)}Y_6(x)$
8元:${x-1}/{(x+1)(x^2+1)(x^3+1)}Y_8(x)$
10元:${x-1}/{(x+1)(x^2+1)(x^3+1)(x^4+1)}Y_10(x)$
12元:${x-1}/{(x+1)(x^2+1)(x^3+1)(x^4+1)(x^5+1)}Y_12(x)$
14元:${x-1}/{(x+1)(x^2+1)(x^3+1)(x^4+1)(x^5+1)(x^6+1)}Y_14(x)$
16元:${x-1}/{(x+1)(x^2+1)(x^3+1)(x^4+1)(x^5+1)(x^6+1)(x^7+1)}Y_16(x)$
规律非常之强
S(K,n)=
{
local(V,L,s,R);
L=K*n;
V=matrix(K,L);
R=vector(n);
V=1;
R=0;
for(u=2,2*n-1,
for(h=1,K-1,
for(v=1,L,
s=V;
if(v>u,s=s+V);
V=s
)
);
V=1;
if(bitand(u,1)==1,
s=(u+1)/2;
R=V
)
);
R
}
EstPol(V,K)=
{
local(len,p,r);
len = length(V);
p=V;
for(u=2,len,
p=p+V*x^(u-1)
);
p=p*(1-x^2);
for(u=1,K-1,
p=p*(1-x^u)
);
r=polcoeff(p,0);
for(u=1,len-1,
r=r+polcoeff(p,u)*x^u
);
r
}
MS(k,n)=EstPol(S(k,n),k)
这个代码可以计算出84#定义的$T_K(x)$
然后我们将$T_K(x)$和$(1-x^2)Y_K(x)$的公因子去掉就可以了。
其中计算时，n需要充分大，大于${K*(K+1)}/2$就可以了