mathe 发表于 2010-6-17 07:08:20

59#没有问题

hujunhua 发表于 2010-6-18 07:51:39

整点矩形问题

如果将直角三角形补成矩形,整点直角三角形必定补成整点矩形。反过来, 整点矩形沿一条对角线剖开, 也一定得到2个整点直角三角形。由于矩形有两条对角形,所以就平移类而言,一个矩形类——类数记为Move(n),下面要用——对应于4个三角形类。当然,就全等类来说,矩形与三角形相同。

按70#的结果,n为偶数时,对角线长为n的整点矩形Move(n)=\Pi(2\Pi-1)。

续帖将给出n为奇数时,Move(n)=2((\Pi),(2))=\Pi(\Pi-1)。由此整点三角形move(n)=4\Pi(\Pi-1)。这是65# mathe的结果的2倍,因为mathe将中心对称的两三角形(即矩形沿一条对角形剖开的两三角形)视作相同。

wayne 发表于 2010-6-18 11:22:46

59# hujunhua

再次领教了整数环的威力,
挤个时间一定要学学捅破其神秘的面纱

hujunhua 发表于 2010-6-19 09:44:37

续72#
为了计算Move(n),对每一个平移类,可以选择一个顶点在原点的整点矩形为代表,如附图中的矩形ABCD,A在原点。ABCD所在的类中,顶点在原点的另外还有3个,这四个矩形合并成一个双倍大的、中心在原点的矩形,即图中的红线大矩形。这个大矩形是圆x^2+y^2=n^2的内接整点矩形。以下称圆的两个对径点为1个点偶。

当n为偶数时,圆x^2+y^2=n^2上的整点坐标a, b(见图)都是偶数,所以圆的每个内接整点矩形反过去也可分割为4个小整点矩形。大与小是一一对应的,于是Move(n)等于圆的内接整点矩形的个数。圆的每两条整点直径决定一个内接整点矩形,于是Move(n)=((2\Pi),(2))=\Pi(2\Pi-1)

当n为奇数时,圆x^2+y^2=n^2上的整点坐标a, b(见图)都是一奇一偶,如果(a, b)为(奇, 偶),就将以之为端点的直径涂成红色,反之则涂成蓝色。易知,iff两对角线同色,内接矩形分割成的4个小矩形为整点矩形。由于每种颜色的直径各有\Pi个,所以Move(n)=2((\Pi),(2))=\Pi(\Pi-1).

wayne 发表于 2010-6-19 11:01:19

在18楼,我算过,Move(125)=84
根据大大的式子,Move(125)=42
我在哪点多算了呢

hujunhua 发表于 2010-6-19 11:19:55

Move(125)=42, 指的是整点矩形;move(125)=168, 指的是整点三角形。大小写有区别
你可能是按mathe的过滤规则算的,只有move(n)的一半。你不是多算了,而是少算了。比如你的第1个是{{-122, -22},{-4,22}},后面找不到旋转180的{{122, 22},{4,-22}}。
72#有交代。

hujunhua 发表于 2010-6-19 11:26:50

整点矩形对称类类数

对于“对角线长为n的整点矩形有多少个”的提问,我更倾向于以对称类的类数——记为Sy(n))——来作答。
对称群={e,x轴反射,y轴反射,转置,负转置,旋转90度,旋转180度,旋转270度},计有8个变换。
注:转置(a+bi)=b+ai,负转置(a+bi)=-b-ai

统计了一下整点矩形对称类的类数Sy(n),结果如下(过程以后再补吧):
当n为偶数时,Sy(n)=1/2\Pi(\Pi+1)
当n为奇数时,Sy(n)=1/4\(\Pi^2-1)

hujunhua 发表于 2010-6-19 21:24:05

整点直角三角形对称类类数

结果如下(过程也以后再补吧):
当n为偶数时,sy(n)=\Pi^2
当n为奇数时,sy(n)=1/2\Pi(\Pi-1). 刚好是平移类的1/8。

hefaguhu 发表于 2010-7-1 00:14:47

各位,本人对这题有点想法,各位不知怎么样,望指教!
1、画以原点O为圆心,n为半径的圆,在圆上找出所有符合整点坐标的点P集合;
2、画以原点O和点P的中点做圆心,n为半径的圆,在圆上找出所有符合整点坐标的点Q集合;
3、则点OPQ为整点直角三角形

wayne 发表于 2012-1-19 11:22:40

精彩绝伦!
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