整点直角三角形

mathe

59#没有问题

hujunhua

如果将直角三角形补成矩形，整点直角三角形必定补成整点矩形。反过来， 整点矩形沿一条对角线剖开， 也一定得到2个整点直角三角形。由于矩形有两条对角形，所以就平移类而言，一个矩形类——类数记为$Move(n)$，下面要用——对应于4个三角形类。当然，就全等类来说，矩形与三角形相同。

按70#的结果，n为偶数时，对角线长为n的整点矩形$Move(n)=\Pi(2\Pi-1)$。

续帖将给出n为奇数时，$Move(n)=2((\Pi),(2))=\Pi(\Pi-1)$。由此整点三角形$move(n)=4\Pi(\Pi-1)$。这是65# mathe的结果的2倍，因为mathe将中心对称的两三角形（即矩形沿一条对角形剖开的两三角形）视作相同。

wayne

59# hujunhua

再次领教了整数环的威力，
挤个时间一定要学学捅破其神秘的面纱

hujunhua

续72#
为了计算Move(n)，对每一个平移类，可以选择一个顶点在原点的整点矩形为代表，如附图中的矩形ABCD，A在原点。ABCD所在的类中，顶点在原点的另外还有3个，这四个矩形合并成一个双倍大的、中心在原点的矩形，即图中的红线大矩形。这个大矩形是圆$x^2+y^2=n^2$的内接整点矩形。以下称圆的两个对径点为1个点偶。

当n为偶数时，圆$x^2+y^2=n^2$上的整点坐标a, b(见图)都是偶数，所以圆的每个内接整点矩形反过去也可分割为4个小整点矩形。大与小是一一对应的，于是Move(n)等于圆的内接整点矩形的个数。圆的每两条整点直径决定一个内接整点矩形，于是$Move(n)=((2\Pi),(2))=\Pi(2\Pi-1)$

当n为奇数时，圆$x^2+y^2=n^2$上的整点坐标a, b(见图)都是一奇一偶，如果(a, b)为（奇, 偶），就将以之为端点的直径涂成红色，反之则涂成蓝色。易知，iff两对角线同色，内接矩形分割成的4个小矩形为整点矩形。由于每种颜色的直径各有$\Pi$个，所以$Move(n)=2((\Pi),(2))=\Pi(\Pi-1)$.

wayne

在18楼，我算过，Move(125)=84
根据大大的式子，Move(125)=42
我在哪点多算了呢

hujunhua

Move(125)=42, 指的是整点矩形；move(125)=168, 指的是整点三角形。大小写有区别
你可能是按mathe的过滤规则算的，只有move(n)的一半。你不是多算了，而是少算了。比如你的第1个是{{-122, -22},{-4,22}}，后面找不到旋转180的{{122, 22},{4,-22}}。
72#有交代。

hujunhua

对于“对角线长为n的整点矩形有多少个”的提问，我更倾向于以对称类的类数——记为Sy(n))——来作答。
对称群={e，x轴反射，y轴反射，转置，负转置，旋转90度，旋转180度，旋转270度}，计有8个变换。
注：转置(a+bi)=b+ai,  负转置(a+bi)=-b-ai

统计了一下整点矩形对称类的类数Sy(n)，结果如下（过程以后再补吧）：
当n为偶数时，$Sy(n)=1/2\Pi(\Pi+1)$
当n为奇数时，$Sy(n)=1/4\(\Pi^2-1)$

hujunhua

结果如下（过程也以后再补吧）：
当n为偶数时，$sy(n)=\Pi^2$
当n为奇数时，$sy(n)=1/2\Pi(\Pi-1)$. 刚好是平移类的1/8。

hefaguhu

各位，本人对这题有点想法，各位不知怎么样，望指教！
1、画以原点O为圆心，n为半径的圆，在圆上找出所有符合整点坐标的点P集合；
2、画以原点O和点P的中点做圆心，n为半径的圆，在圆上找出所有符合整点坐标的点Q集合；
3、则点OPQ为整点直角三角形

wayne

精彩绝伦！