是的，我前面弄错了，函数是前凹后凸
可以转化为“陈计不等式”的格式，套用现成的东西，应该算是初等的方法吧
呵呵，勉强算初等方法，不过还要分析边界条件，计算应该挺复杂的
还是有一点不一样的，这里是单调递减的。
x,y,z都相等时，函数x+y+z取最小值，
x=0,y=z=Pi时，函数x+y+z取最大值。
所以，x+y+z的值域为：[3*(Pi-arccos(1/3) , 2Pi)
结论是正确的，但是方法是错误的。
比如对于给定$x+y+z=S$而且$0<x,y,z<pi/2$,我们需要判断$cos2x+cos2y+cos2z$的值域中是否包含-1
对于这个函数的最大值，可能在三个数相等时取到，也可能在x,y,z中部分数据大大$pi/2$时取到
当然如果采用微积分，我们会发现一个有意思的情况，如果取最值时x,y,z中有两个不相等的数都不在边界，比如是x,y,那么必然有函数在它们的导数相等，也就是$sin2x=sin2y$,这必然是$x+y=pi/2$的情况，而且对于任意满足这个条件的x,y,都有$cos2x+cos2y=0$,也就是我们总可以用$x=y$替换，或边界情况($x=0,y=pi/2$)替换,当然后面的分析还是用了导数，所以一点也不初等
三角形ABC中成立恒等式cos^2A+cos^2B+cos^2c=1-2cosAcosBcosC
若3个锐角x, y, z成立cos^2x+cos^2y+cos^2z=1, 由余弦函数在(0,\pi)单减可得x+y+z<\pi
本帖最后由 wayne 于 2010-7-9 12:34 编辑
22# hujunhua
:victory: ，多亏了大大的提醒啊，加上数学软件的帮助，我找到了这个记忆中的三角恒等式：
对于任意角x,y,z,都有，cos^2x+cos^2y+cos^2z=2-cos^2(x+y+z)+2 cos(x+y) cos(x+z) cos(y+z)
本帖最后由 wayne 于 2010-7-9 12:48 编辑
16# mathe
:victory:
设 0<=x,y,z<=Pi/2,a=cos(2x),b=cos(2y),c=cos(2z)， 那么问题转化为
已知a+b+c=-1, -1<=a,b,c<=1 , 求 arccos(a) + arccos(b) + arccos(c) 的最值
这样更加好一些，不过函数不是arccos(x),而是值域取在的那个函数,函数先凸后凹，并且单调减。
$a=b=c=-1/3$是极小值点。其它最小值点要么取到一个边界a=-1,b+c=0,这时和为$2pi$,要么a=b<c,不过如果不利用我增强的微积分的结论，这时a和c具体取多少还是不好解
20# mathe
mathe好仔细
:)