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楼主: Buffalo

[求助] 用尽量初等的办法求一个条件最值

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发表于 2010-7-9 11:08:06 | 显示全部楼层
是的,我前面弄错了,函数是前凹后凸
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-7-9 11:11:05 | 显示全部楼层
可以转化为“陈计不等式”的格式,套用现成的东西,应该算是初等的方法吧
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发表于 2010-7-9 11:13:23 | 显示全部楼层
呵呵,勉强算初等方法,不过还要分析边界条件,计算应该挺复杂的
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发表于 2010-7-9 11:26:56 | 显示全部楼层
还是有一点不一样的,这里是单调递减的。

x,y,z都相等时,函数x+y+z取最小值,
x=0,y=z=Pi时,函数x+y+z取最大值。
所以,x+y+z的值域为:  [3*(Pi-arccos(1/3) , 2Pi)
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发表于 2010-7-9 11:50:52 | 显示全部楼层
结论是正确的,但是方法是错误的。
比如对于给定$x+y+z=S$而且$0<x,y,z<pi/2$,我们需要判断$cos2x+cos2y+cos2z$的值域中是否包含-1
对于这个函数的最大值,可能在三个数相等时取到,也可能在x,y,z中部分数据大大$pi/2$时取到
当然如果采用微积分,我们会发现一个有意思的情况,如果取最值时x,y,z中有两个不相等的数都不在边界,比如是x,y,那么必然有函数在它们的导数相等,也就是$sin2x=sin2y$,这必然是$x+y=pi/2$的情况,而且对于任意满足这个条件的x,y,都有$cos2x+cos2y=0$,也就是我们总可以用$x=y$替换,或边界情况($x=0,y=pi/2$)替换,当然后面的分析还是用了导数,所以一点也不初等
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发表于 2010-7-9 12:20:32 | 显示全部楼层
三角形ABC中成立恒等式$cos^2A+cos^2B+cos^2c=1-2cosAcosBcosC$
若3个锐角$x, y, z$成立$cos^2x+cos^2y+cos^2z=1$, 由余弦函数在$(0,\pi)$单减可得$x+y+z<\pi$

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发表于 2010-7-9 12:32:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 wayne 于 2010-7-9 12:34 编辑

22# hujunhua
,多亏了大大的提醒啊,加上数学软件的帮助,我找到了这个记忆中的三角恒等式:
对于任意角x,y,z,都有,$cos^2x+cos^2y+cos^2z=2-cos^2(x+y+z)+2 cos(x+y) cos(x+z) cos(y+z)$
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发表于 2010-7-9 12:45:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 wayne 于 2010-7-9 12:48 编辑

16# mathe

设 0<=x,y,z<=Pi/2,  a=cos(2x),b=cos(2y),c=cos(2z), 那么问题转化为

已知  a+b+c=-1, -1<=a,b,c<=1 , 求 arccos(a) + arccos(b) + arccos(c) 的最值
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发表于 2010-7-9 12:53:32 | 显示全部楼层
这样更加好一些,不过函数不是arccos(x),而是值域取在[0,pi]的那个函数,函数先凸后凹,并且单调减。
$a=b=c=-1/3$是极小值点。其它最小值点要么取到一个边界a=-1,b+c=0,这时和为$2pi$,要么a=b<c,不过如果不利用我增强的微积分的结论,这时a和c具体取多少还是不好解
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发表于 2010-7-9 12:58:09 | 显示全部楼层
20# mathe
mathe好仔细

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