用尽量初等的办法求一个条件最值

mathe · 发表于 2010-7-9 11:08:06

是的，我前面弄错了，函数是前凹后凸

wayne · 发表于 2010-7-9 11:11:05

可以转化为“陈计不等式”的格式，套用现成的东西，应该算是初等的方法吧

mathe · 发表于 2010-7-9 11:13:23

呵呵，勉强算初等方法，不过还要分析边界条件，计算应该挺复杂的

wayne · 发表于 2010-7-9 11:26:56

还是有一点不一样的，这里是单调递减的。 x,y,z都相等时，函数x+y+z取最小值， x=0,y=z=Pi时，函数x+y+z取最大值。所以，x+y+z的值域为： [3*(Pi-arccos(1/3) , 2Pi)

mathe · 发表于 2010-7-9 11:50:52

结论是正确的，但是方法是错误的。比如对于给定$x+y+z=S$而且$0

hujunhua · 发表于 2010-7-9 12:20:32

三角形ABC中成立恒等式$cos^2A+cos^2B+cos^2c=1-2cosAcosBcosC$ 若3个锐角$x, y, z$成立$cos^2x+cos^2y+cos^2z=1$, 由余弦函数在$(0,\pi)$单减可得$x+y+z<\pi$

wayne · 发表于 2010-7-9 12:32:21

本帖最后由 wayne 于 2010-7-9 12:34 编辑 22# hujunhua

，多亏了大大的提醒啊，加上数学软件的帮助，我找到了这个记忆中的三角恒等式：对于任意角x,y,z,都有，$cos^2x+cos^2y+cos^2z=2-cos^2(x+y+z)+2 cos(x+y) cos(x+z) cos(y+z)$

wayne · 发表于 2010-7-9 12:45:43

本帖最后由 wayne 于 2010-7-9 12:48 编辑 16# mathe

设 0<=x,y,z<=Pi/2, a=cos(2x),b=cos(2y),c=cos(2z)，那么问题转化为已知 a+b+c=-1, -1<=a,b,c<=1 , 求 arccos(a) + arccos(b) + arccos(c) 的最值

mathe · 发表于 2010-7-9 12:53:32

这样更加好一些，不过函数不是arccos(x),而是值域取在[0,pi]的那个函数,函数先凸后凹，并且单调减。 $a=b=c=-1/3$是极小值点。其它最小值点要么取到一个边界a=-1,b+c=0,这时和为$2pi$,要么a=b

wayne · 发表于 2010-7-9 12:58:09

20# mathe mathe好仔细

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