用尽量初等的办法求一个条件最值

Buffalo · 发表于 2010-7-8 23:16:11

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已知锐角$x,y,z$满足$\cos^2 x+\cos^2 y+\cos^2 z=1$，求$x+y+z$的取值范围。如果允许用高等数学的办法当然简单了，现在限制只准用初等方法，怎么办？

mathe · 发表于 2010-7-9 08:34:57

我们可以改为考虑另外一个问题，给定x+y+z的值，而且x,y,z都是锐角，求$cos^2x+cos^2y+cos^2z$的取值范围，我们只需要判断这个范围里面是否包含1就可以了。而$cos^2x={cos2x+1}/2$是凹函数，我们知道函数在$x=y=z$时取最大值，而在边界上取最小值。由此我们可以分析出对于那些$x+y+z$的取值,$cos^2x+cos^2y+cos^2z$可以取到1

wayne · 发表于 2010-7-9 09:40:11

立体几何里面好像有一个很类似的恒等式，我找找

wayne · 发表于 2010-7-9 10:11:08

本帖最后由 wayne 于 2010-7-9 10:28 编辑 问题其实就是：已知锐角$x,y,z$满足$\cos2 x+\cos2 y+\cos2 z=-1$，求$x+y+z$的取值范围也就是说，楼主想要的那个初等方法能变相的利用余弦函数的凸凹性，呵呵

hujunhua · 发表于 2010-7-9 10:12:20

问题转到球面上，求一个球面三角形内一点到3个顶点的距离之和的最值。距离指球面距离。最漂亮的初等方法莫过于球面几何，这必须对球面几何相当熟悉。不过，球面几何可是蛮招学生痛恨的（呵呵，头痛+厌恨）。

mathe · 发表于 2010-7-9 10:38:48

球面上有什么好的计算方法？

mathe · 发表于 2010-7-9 10:45:51

呵呵，想到一个方法，应该可以证明球面正三角形中，到三个顶点距离之和最小的点是中心

mathe · 发表于 2010-7-9 10:53:27

为此，我们先给出一个引理，如果对于等腰球面三角形,其顶点A的角度固定，腰的长度为b,底边长度为a, 那么${sinb}/{sina}$随着b的增大而单调增. 由正弦定理${sinA}/{sina}={sinB}/{sinb}$ 而三角形面积为$A+2B-pi$,所以由于腰变长，三角形面积严格增，所以B必然变大，于是 ${sinb}/{sina}$严格变大。而这个定理说明，给定等腰球面三角形顶点的角度，那么最多只能存在一个边长值b使得三角形成为正三角形。

mathe · 发表于 2010-7-9 11:03:07

这个方法不行，想构造三点共线，但是没有成功

wayne · 发表于 2010-7-9 11:06:11

感觉问题的结构有点像 “陈计不等式” 啊

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