用尽量初等的办法求一个条件最值

Buffalo

先做一半。 由$\cos^2x+\cos^2 y+\cos^2 z=1$知$\cos(x+y)\cos(x-y)=-\cos^2 z<0$，也就是说$\pi/2 < x+y <\pi$，因此$\frac{3\pi}{4} < x+y+z <\frac{3\pi}{2}$，因此考察$\sin(x+y+z)$就可知道$x+y+z$的确切范围。 不妨假设$\sin(2x)\ge \sin(2z)$，于是$\sin(x+y+z)=\sin(x+y)\cos z+ \cos(x+y)\sin z$ $=\frac{\sin(x+y)\cos z\cos(x-y)-\cos^2z \sin z}{\cos(x-y)}$ $=\frac{\cos z(\sin 2x+\sin 2y-\sin 2z)}{2\cos(x-y)}\ge \frac{\cos z\sin 2y }{2\cos(x-y)}>0$。因此$x+y+z<\pi$。 另一半： 由$\cos(x+y)\cos(x-y)=-\cos^2 z$知$-1< \cos(x+y) \le -\cos^2 z$，从而$\sin(x+y)=\sqrt{1-\cos^2(x+y)}\le \sqrt{1-\cos^4 z}$,$\sin(x+y+z)=\sin(x+y)\cos z+ \cos(x+y)\sin z \le \sqrt{1-\cos^4 z}\cos z-\cos^2 z\sin z\le \sqrt{6}/9$

Buffalo

不好看，期待更好的解答。

mathe

我现在发现一个不错的引理: 如果$0

mathe

27#的引理证明很简单，用和差化积就可以了。 同样，我们可以用和差化积证明cos(x)在$[pi/2,pi]$中是凸的。 然后如果$cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)=-1$我们知道其中任意两个之和不大于0， 那么对于$x+y+z$取最小值的点，如果其中$cosx,cosy,cosz$中存在正数，那么必然只有一个，不妨设$cosx>0$,那么$cosx+cosy<=0$,得到$cos(pi-y)>=cos(x),pi/2>=x>pi-y>=0$,设$x-(pi-y)=a$,由函数$cos(t)-cos(a+t)$单调增，我们可以稍微减少x,并且按同样的量增加y，在保持$x+y+z$的情况下使得新的$cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)<-1$,再利用cos函数单调性，我们可以适当减少x,y,z中若干个值使得$cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)$调整会-1,这时得到的$x+y+z$会更加小，同x+y+z最小性矛盾。 由此得到x+y+z最小时必然$cos2x,cos2y,cos2z$都不大于0或特殊情况$cos2x+cos2y=0$ 其中$cos2x+cos2y=0$的情况很好分析，而$cos2x,cos2y,cos2z$都不大于0时利用函数凸性得出它们都相等。也就是最小值在都相等时取到 同样类似可以得出取最大值时必然在边界取到

Buffalo

第二部分的做法： 由$\cos(x+y)=-\frac{\cos^2 z}{\cos(x-y)}$知对任意给定的z，在$x=y$时$\cos(x+y)$取到最大值，也就是$x+y$取到最小值。因此$x+y+z$的最小值在$x=y=z$处取到。

hujunhua

仔细研究了一番球面几何，找到x+y+z<π的纯几何证明了，真的很棒啊。 我现在怀疑对下界的“证明”称为几何解释更合适，如果$\Delta ABC=\pi$正是$cos^2x+cos^2y+cos^2z=1$ 的某种几何解释的话。

mathe

三角形的周长小于大圆周长不明显。 还有那个等周定理应该对面积有要求的吧。比如考虑同这个三角形"对偶"的三角形，情况应该是相反的。

hujunhua

看来只有偶认真研究了一下球面几何啊，真不该把前天发在趣题妙解里的基础知识删掉的。 1、球面上一般位置的三点决定的平面截球面于一个圆，将球面分割成一大一小两个球冠，小的不超过半球面，称为劣球冠。 2、按球面几何中的定义，球面三角形位于劣球冠上，边都是劣弧，即连接两点的最短线（仅就圆弧连接来说，大圆优弧是最长距离）。 3、那个截圆就是球面三角形的外接圆。球面三角形的周长小于其外接圆周，因为弦短于弧。而外接圆最大也就是大圆。 4、半圆是劣弧的上界，那么，球面三角形的边可以是半圆吗？ 答曰：不行。因为一条边是半圆的话，另外两条边也必定合成半圆，三角形就退化成瓜瓣形了（这时周长达到三角形周长的上限）。 5、球面三角形的周长将球面分割成不连通的“内部”和“外部”，所谓内部，即指面积小于`2\pi` 者。 （mathe所言“对偶”三角形，引号加得谨慎，否则与球面几何中的对偶三角形定义相冲突。我明白mathe所指为三角形的外部 )

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. NMaximize[{x+y+z,
   
3.     Cos[x]^2+Cos[y]^2+Cos[z]^2==1&&
   
4.     0<x<Pi/2&&
   
5.     0<y<Pi/2&&
   
6.     0<z<Pi/2
   
7.     },{x,y,z}]
   
8. NMinimize[{x+y+z,
   
9.     Cos[x]^2+Cos[y]^2+Cos[z]^2==1&&
   
10.     0<x<Pi/2&&
    
11.     0<y<Pi/2&&
    
12.     0<z<Pi/2
    
13.     },{x,y,z}]
    

复制代码

{3.14196, {x -> 0.000370718, y -> 1.5708, z -> 1.5708}}
{2.86595, {x -> 0.955317, y -> 0.955317, z -> 0.955317}}

从上面的计算结果可以知道，当一个角等于零的时候且另外两个角是直角，那么取最大值pi
三个角相等，那么取最小值