先做一半。
由\cos^2x+\cos^2 y+\cos^2 z=1知\cos(x+y)\cos(x-y)=-\cos^2 z<0，也就是说\pi/2 < x+y <\pi，因此\frac{3\pi}{4} < x+y+z <\frac{3\pi}{2}，因此考察\sin(x+y+z)就可知道x+y+z的确切范围。
不妨假设\sin(2x)\ge \sin(2z)，于是\sin(x+y+z)=\sin(x+y)\cos z+ \cos(x+y)\sin z
=\frac{\sin(x+y)\cos z\cos(x-y)-\cos^2z \sin z}{\cos(x-y)}
=\frac{\cos z(\sin 2x+\sin 2y-\sin 2z)}{2\cos(x-y)}\ge \frac{\cos z\sin 2y }{2\cos(x-y)}>0。因此x+y+z<\pi。
另一半：
由\cos(x+y)\cos(x-y)=-\cos^2 z知-1< \cos(x+y) \le -\cos^2 z，从而\sin(x+y)=\sqrt{1-\cos^2(x+y)}\le \sqrt{1-\cos^4 z},\sin(x+y+z)=\sin(x+y)\cos z+ \cos(x+y)\sin z \le \sqrt{1-\cos^4 z}\cos z-\cos^2 z\sin z\le \sqrt{6}/9
不好看，期待更好的解答。
我现在发现一个不错的引理:
如果$0<a<pi/2$,那么函数$cos(x)-cos(a+x)$在$x in $单调增。利用这个引理可以很方便的得出本题的最值
27#的引理证明很简单，用和差化积就可以了。
同样，我们可以用和差化积证明cos(x)在$$中是凸的。
然后如果$cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)=-1$我们知道其中任意两个之和不大于0，
那么对于$x+y+z$取最小值的点，如果其中$cosx,cosy,cosz$中存在正数，那么必然只有一个，不妨设$cosx>0$,那么$cosx+cosy<=0$,得到$cos(pi-y)>=cos(x),pi/2>=x>pi-y>=0$,设$x-(pi-y)=a$,由函数$cos(t)-cos(a+t)$单调增，我们可以稍微减少x,并且按同样的量增加y，在保持$x+y+z$的情况下使得新的$cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)<-1$,再利用cos函数单调性，我们可以适当减少x,y,z中若干个值使得$cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)$调整会-1,这时得到的$x+y+z$会更加小，同x+y+z最小性矛盾。
由此得到x+y+z最小时必然$cos2x,cos2y,cos2z$都不大于0或特殊情况$cos2x+cos2y=0$
其中$cos2x+cos2y=0$的情况很好分析，而$cos2x,cos2y,cos2z$都不大于0时利用函数凸性得出它们都相等。也就是最小值在都相等时取到
同样类似可以得出取最大值时必然在边界取到
第二部分的做法：
由\cos(x+y)=-\frac{\cos^2 z}{\cos(x-y)}知对任意给定的z，在x=y时\cos(x+y)取到最大值，也就是x+y取到最小值。因此x+y+z的最小值在x=y=z处取到。
仔细研究了一番球面几何，找到x+y+z<π的纯几何证明了，真的很棒啊。
我现在怀疑对下界的“证明”称为几何解释更合适，如果\Delta ABC=\pi正是cos^2x+cos^2y+cos^2z=1 的某种几何解释的话。
三角形的周长小于大圆周长不明显。
还有那个等周定理应该对面积有要求的吧。比如考虑同这个三角形"对偶"的三角形，情况应该是相反的。
看来只有偶认真研究了一下球面几何啊，真不该把前天发在趣题妙解里的基础知识删掉的。
1、球面上一般位置的三点决定的平面截球面于一个圆，将球面分割成一大一小两个球冠，小的不超过半球面，称为劣球冠。
2、按球面几何中的定义，球面三角形位于劣球冠上，边都是劣弧，即连接两点的最短线（仅就圆弧连接来说，大圆优弧是最长距离）。
3、那个截圆就是球面三角形的外接圆。球面三角形的周长小于其外接圆周，因为弦短于弧。而外接圆最大也就是大圆。
4、半圆是劣弧的上界，那么，球面三角形的边可以是半圆吗？
答曰：不行。因为一条边是半圆的话，另外两条边也必定合成半圆，三角形就退化成瓜瓣形了（这时周长达到三角形周长的上限）。
5、球面三角形的周长将球面分割成不连通的“内部”和“外部”，所谓内部，即指面积小于`2\pi` 者。
（mathe所言“对偶”三角形，引号加得谨慎，否则与球面几何中的对偶三角形定义相冲突。我明白mathe所指为三角形的外部 )
Clear["Global`*"];
NMaximize[{x+y+z,
Cos^2+Cos^2+Cos^2==1&&
0<x<Pi/2&&
0<y<Pi/2&&
0<z<Pi/2
},{x,y,z}]
NMinimize[{x+y+z,
Cos^2+Cos^2+Cos^2==1&&
0<x<Pi/2&&
0<y<Pi/2&&
0<z<Pi/2
},{x,y,z}]
{3.14196, {x -> 0.000370718, y -> 1.5708, z -> 1.5708}}
{2.86595, {x -> 0.955317, y -> 0.955317, z -> 0.955317}}
从上面的计算结果可以知道，当一个角等于零的时候且另外两个角是直角，那么取最大值pi
三个角相等，那么取最小值