litaoye 发表于 2010-11-7 10:28:03

只考虑首位的话,肯定可以出现1-9,但是k步之内不好搞。

zgg___ 发表于 2010-11-8 11:01:26

经过计算,是可以求得方程x^(2^m)==x(mod(10^k))的所有解的。
拿k=12时的解作为例子增加一下感性认识吧。
这时一共有25个解,也就是说,对于任意末尾非0的自然数x,经过不断平方的操作,观察它的最后12位,总会出现这25个数之一。这25种情况按照其末位数字,可以分为3类:第1类末位为5,只有1个解918212890625(它是23层中n2的最后12位);第2类末位为1,一共有12个解,非别是:1, 200000000001, 120000000001, 112000000001, 11200000001, 101120000001, 10112000001, 1011200001, 100101120001, 10010112001, 101001011201, 10100101121,它们所处循环的周期(也就是m啦),分别是:1, 4, 20, 100, 500, 2500, 12500, 62500, 312500, 1562500, 7812500, 39062500;第3类的末位是6,模样和第2类类似的,一共也有12个解,非别是:81787109376, 281787109376, 1787109376, 113787109376, 187109376, 10107109376, 110011109376, 110309376, 1101029376, 10000101376, 111001010176, 1110016,周期是一样的(例如:1110016^(2^39062500)的最后12位是1110016)。可以发现解的总数是:2k+1个,解的规律比较明显,后面的周期是前面的5倍(这个现象和2不停平方后末位固定为6相关)。
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