无穷级数求和
本帖最后由 wayne 于 2010-11-3 12:55 编辑\sum\sum_{i=1,j=1}^{+oo} 1/{(i*j)^2} 本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2010-11-3 13:07 编辑
为什么$i$不能等于$j$？
$i=j$也无妨啊。
只要将最终答案减去$\pi^2/6$即可。
不知道这么想是否正确。
#####
应该是将最终答案减去$\sum_{i=1}^{+oo} 1/i^4$。
#####
了解。
你的意思是
$\sum_{i=1}^{+oo} 1/i^4=\pi^4/90$
#####
经粗糙验证，$\sum_{i=1}^{20} 1/i^4$与$\pi^4/90$很接近。
说明$\sum_{i=1}^{+oo} 1/i^4=\pi^4/90$是一个真理。
Fans第$1$次知道这个结果，长见识了。 本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2010-11-3 13:03 编辑
它等于$\sum 1/i^2$乘$\sum 1/j^2$么？ 好像不是这个结果。。。 To 2 层：
如果你在mathematica软件里敲入
Table, {i, 10}]
就可以看见全套的…… 2# KeyTo9_Fans
这是黎曼 Zeta函数，幂是偶数的时候，人们可以给出准确值，
而大于1的奇数的时候，虽然也收敛，但至今没人给出准确的值来，是一个谜 3# zgg___
明白了，是我弄错了
减去相等的，答案应该是：
(\pi^4/36-\pi^4/90)/2 =\pi^4/120 你们讨论的求和式是:
$\sum_{i=1}^{+infty}\sum_{j=i+1}^{+infty}1/{(i*j)^2}$
? 本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2010-11-3 16:55 编辑
不是。
原来的求和式只是多了一个$i!=j$的限制，没有$i<j$的限制。
（但是$7$楼怎么悄悄地把$i<j$的限制加上去了呢？）
真是该死，我今天下午有课，导致不能及时将好消息带来。
我编了一个程序，将部分和计算出来了。
结果和$3$楼的答案很接近。
程序代码如下：#include<cstdio>
int i,j;
double s;
int main()
{
s=0;
for(i=1;i<101;i++)
for(j=1;j<101/i;j++)
s+=1.0/i/i/j/j;
printf("%.16lf\n",s);
s=0;
for(i=1;i<10001;i++)
for(j=1;j<10001/i;j++)
s+=1.0/i/i/j/j;
printf("%.16lf\n",s);
s=0;
for(i=1;i<1000001;i++)
for(j=1;j<1000001/i;j++)
s+=1.0/i/i/j/j;
printf("%.16lf\n",s);
s=0;
for(i=1;i<100000001;i++)
for(j=1;j<100000001/i;j++)
s+=1.0/i/i/j/j;
printf("%.16lf\n",s);
return 0;
}输出如下：2.6227209845490762
2.7045073769445298
2.7057904695035253
2.7058078208348411与真实值
$2.7058080842778454787900092413529$
很接近。 本帖最后由 wayne 于 2010-11-3 19:33 编辑
现在，我们从这个角度来认识原题:
将 正整数集合的所有的 一元子集合的元素的平方的倒数和 求和，则：
\sum_{i=1}^{+oo}1/{i^2} =\pi^2/{3!}=\pi^2/6
将 正整数集合的所有的 二元子集合的元素的乘积的平方的倒数和 求和，则：
答案即为本题的\pi^4/120=\pi^4/{5!}
那么，我予以推广，是不是换成n元子集合了，级数收敛为\pi^{2n}/{(2n+1)!}