无穷级数求和

wayne

$\sum\sum_{i=1,j=1}^{+oo} 1/{(i*j)^2}$

KeyTo9_Fans

为什么$i$不能等于$j$？ $i=j$也无妨啊。 只要将最终答案减去$\pi^2/6$即可。 不知道这么想是否正确。 ##### 应该是将最终答案减去$\sum_{i=1}^{+oo} 1/i^4$。 ##### 了解。 你的意思是 $\sum_{i=1}^{+oo} 1/i^4=\pi^4/90$ ##### 经粗糙验证，$\sum_{i=1}^{20} 1/i^4$与$\pi^4/90$很接近。 说明$\sum_{i=1}^{+oo} 1/i^4=\pi^4/90$是一个真理。 Fans第$1$次知道这个结果，长见识了。

zgg___

它等于$\sum 1/i^2$乘$\sum 1/j^2$么？

wayne

好像不是这个结果。。。

zgg___

To 2 层： 如果你在mathematica软件里敲入 Table[Zeta[2i], {i, 10}] 就可以看见全套的……

wayne

2# KeyTo9_Fans 这是黎曼 Zeta函数，幂是偶数的时候，人们可以给出准确值， 而大于1的奇数的时候，虽然也收敛，但至今没人给出准确的值来，是一个谜

wayne

3# zgg___ 明白了，是我弄错了 减去相等的，答案应该是： $(\pi^4/36-\pi^4/90)/2 =\pi^4/120$

mathe

你们讨论的求和式是: $\sum_{i=1}^{+infty}\sum_{j=i+1}^{+infty}1/{(i*j)^2}$ ?

KeyTo9_Fans

不是。 原来的求和式只是多了一个$i!=j$的限制，没有$i

1. #include<cstdio>
3. int i,j;
4. double s;
6. int main()
7. {
8. s=0;
9. for(i=1;i<101;i++)
10. for(j=1;j<101/i;j++)
11. s+=1.0/i/i/j/j;
12. printf("%.16lf\n",s);
13. s=0;
14. for(i=1;i<10001;i++)
15. for(j=1;j<10001/i;j++)
16. s+=1.0/i/i/j/j;
17. printf("%.16lf\n",s);
18. s=0;
19. for(i=1;i<1000001;i++)
20. for(j=1;j<1000001/i;j++)
21. s+=1.0/i/i/j/j;
22. printf("%.16lf\n",s);
23. s=0;
24. for(i=1;i<100000001;i++)
25. for(j=1;j<100000001/i;j++)
26. s+=1.0/i/i/j/j;
27. printf("%.16lf\n",s);
28. return 0;
29. }

复制代码输出如下：

1. 2.6227209845490762
2. 2.7045073769445298
3. 2.7057904695035253
4. 2.7058078208348411

复制代码

与真实值 $2.7058080842778454787900092413529$ 很接近。

wayne

现在，我们从这个角度来认识原题: 将 正整数集合的所有的 一元子集合的元素的平方的倒数和 求和，则： $\sum_{i=1}^{+oo}1/{i^2} =\pi^2/{3!}=\pi^2/6$ 将 正整数集合的所有的 二元子集合的元素的乘积的平方的倒数和 求和，则： 答案即为本题的$\pi^4/120=\pi^4/{5!}$ 那么，我予以推广，是不是换成n元子集合了，级数收敛为$\pi^{2n}/{(2n+1)!}$