无穷级数求和

wayne

$\sum\sum_{i=1,j=1}^{+oo} 1/{(i*j)^2}$

KeyTo9_Fans

为什么$i$不能等于$j$？

$i=j$也无妨啊。

只要将最终答案减去$\pi^2/6$即可。

不知道这么想是否正确。

#####

应该是将最终答案减去$\sum_{i=1}^{+oo} 1/i^4$。

#####

了解。

你的意思是

$\sum_{i=1}^{+oo} 1/i^4=\pi^4/90$

#####

经粗糙验证，$\sum_{i=1}^{20} 1/i^4$与$\pi^4/90$很接近。

说明$\sum_{i=1}^{+oo} 1/i^4=\pi^4/90$是一个真理。

Fans第$1$次知道这个结果，长见识了。

zgg___

它等于$\sum 1/i^2$乘$\sum 1/j^2$么？

wayne

好像不是这个结果。。。

zgg___

To 2 层：
如果你在mathematica软件里敲入
Table[Zeta[2i], {i, 10}]
就可以看见全套的……

wayne

2# KeyTo9_Fans
这是黎曼 Zeta函数，幂是偶数的时候，人们可以给出准确值，
而大于1的奇数的时候，虽然也收敛，但至今没人给出准确的值来，是一个谜

wayne

3# zgg___
明白了，是我弄错了
减去相等的，答案应该是：
$(\pi^4/36-\pi^4/90)/2 =\pi^4/120$

mathe

你们讨论的求和式是:
$\sum_{i=1}^{+infty}\sum_{j=i+1}^{+infty}1/{(i*j)^2}$
?

KeyTo9_Fans

不是。

原来的求和式只是多了一个$i!=j$的限制，没有$i<j$的限制。

（但是$7$楼怎么悄悄地把$i<j$的限制加上去了呢？）

真是该死，我今天下午有课，导致不能及时将好消息带来。

我编了一个程序，将部分和计算出来了。

结果和$3$楼的答案很接近。

程序代码如下：

1. #include<cstdio>
   
2. 
   
3. int i,j;
   
4. double s;
   
5. 
   
6. int main()
   
7. {
   
8.         s=0;
   
9.         for(i=1;i<101;i++)
   
10.                 for(j=1;j<101/i;j++)
    
11.                         s+=1.0/i/i/j/j;
    
12.         printf("%.16lf\n",s);
    
13.         s=0;
    
14.         for(i=1;i<10001;i++)
    
15.                 for(j=1;j<10001/i;j++)
    
16.                         s+=1.0/i/i/j/j;
    
17.         printf("%.16lf\n",s);
    
18.         s=0;
    
19.         for(i=1;i<1000001;i++)
    
20.                 for(j=1;j<1000001/i;j++)
    
21.                         s+=1.0/i/i/j/j;
    
22.         printf("%.16lf\n",s);
    
23.         s=0;
    
24.         for(i=1;i<100000001;i++)
    
25.                 for(j=1;j<100000001/i;j++)
    
26.                         s+=1.0/i/i/j/j;
    
27.         printf("%.16lf\n",s);
    
28.         return 0;
    
29. }

复制代码

输出如下：

1. 2.6227209845490762
   
2. 2.7045073769445298
   
3. 2.7057904695035253
   
4. 2.7058078208348411

复制代码

与真实值

$2.7058080842778454787900092413529$

很接近。

wayne

现在，我们从这个角度来认识原题:
将 正整数集合的所有的 一元子集合的元素的平方的倒数和 求和，则：
$\sum_{i=1}^{+oo}1/{i^2} =\pi^2/{3!}=\pi^2/6$

将 正整数集合的所有的 二元子集合的元素的乘积的平方的倒数和 求和，则：
答案即为本题的$\pi^4/120=\pi^4/{5!}$


那么，我予以推广，是不是换成n元子集合了，级数收敛为$\pi^{2n}/{(2n+1)!}$