无穷级数求和

wayne

神奇的欧拉为了算zeta(2), 搞出了一个无穷乘积的式子：
$\prod_{k=1}^{+oo}1-x^2/{k^2\pi^2} =\sin(x)/{x}$
我不确定这个无穷乘积是否对，就试着计算后面的一项，发现不对劲，才提问的，后来才知道是自己马虎了

wayne

9# KeyTo9_Fans
这个收敛太慢了，计算起来会很辛苦的， 。


利用欧拉-迈克劳林公式 我们可以算出 $\sum_{k=1}^N1/k^2$ 有限项的逼近公式:
$\sum_{k=1}^N1/k^2= \pi^2/6-1/N+1/{2N^2}-1/{6N^3}+...$

但是我还不知道怎么用在这里，为fans的机器减负

wayne

恳请mathe拔刀相助，给出
$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i+1}^{N}1/{(i*j)^2}$  的一个逼近式子来

wayne

可能是我算错了，等我有时间了再复查一下

mathe

恳请mathe拔刀相助，给出
$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i+1}^{N}1/{(i*j)^2}$  的一个逼近式子来
wayne 发表于 2010-11-8 13:02

这个本质上就是计算求和式:
$\sum_{t=1}^N1/{t^2}$和
$\sum_{t=1}^N1/{t^4}$

mathe

然后关于这些部分求和，我们由于已经知道无穷项求和的极限，所以改为计算尾项就可以了。
考虑到
${Gamma(n+1)}/{Gamma(n)}=n$
取对数，然后求k阶导数，得到
$f^{(k)}(n+1)-f^{(k)}(n)={(-1)^{k-1}}/{n^k}$
其中$f(x)=ln(Gamma(x))$
然后利用$f^{(k)}(+infty)=0$ (需要证明)
可以得到
$f^{(k)}(n)=(-1)^k\sum_{t=n}^{infty}1/{n^k}$

mathe

而对于$ln(Gamma(x))$，我们知道有Stirling级数的形式的渐近式
http://mathworld.wolfram.com/StirlingsSeries.html
我们可以通过对这个Stirling级数两边同时做k阶导数得到$f^{(k)}(x)$的渐进式（当然还需要证明）。

wayne

我算的是：
$\pi^4/120-pi^2/{6n}+{1+\pi^2/6}/{2n^2}+{-2/3-\pi^2/18}/{2n^3}+1/{24n^4}+O(1/n^5)$
原以为可以提高计算速度，结果发现这样的逼近式子收敛依然很慢

wayne

17# mathe
还是没看明白，我用手机拍了照片，回去研读

gxqcn

这个截屏的方式比较特别。