论坛 › 难题征解 › 均分田地，田埂最短问题

mathe 发表于 2010-11-26 17:27:30

设三角形，a>=b>=c,边a和边b的夹角为C，
那么如果分界线为直线，那么最短距离=$sqrt(a*b*(1-cos(C)))$
如果是68楼所说的圆弧，那么长度=$sqrt(a*b*sin(C)*C/2)$
比较它们的大小就可以了。
056254628 发表于 2010-11-26 17:22 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
这个不等式简单，就是要求证明
$1-cos(C)>sin(C)C/2$
或者
${1-cos(C)}/{sin(C)}=tan(C/2)>C/2$

056254628 发表于 2010-11-26 17:33:50

上述两个长度相比的平方=$tan(C/2)/(C/2)$>1
所有68楼的想法是对的，规则仍成立。
那么三角形的三等分面积的分界线又是什么图形呢？

mathe 发表于 2010-11-26 17:47:30

三等分就复杂了，有两种不同的情况，比如一条边特别长时，应该是两端圆弧来划分。
但是更多情况，应该是中间一个点向三条边引圆弧（或线段），比如正三角形。

云梦 发表于 2011-6-2 06:51:15

好像没有通解，对每个N来说都只会有一个最佳解。好玩！

云梦 发表于 2011-6-2 06:55:18

感觉这个问题和原来的“灌水问题”都可以通过力学角度来分析，呵呵。
我觉得边界最短要满足的条件是：1、是直线或圆弧（直线也可以看成圆弧啦）；2、在连接点上要相切的。
对于正方形分5分，可以下面的图也可能是一 ...
zgg___ 发表于 2010-11-11 16:36 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
该图虽然是分成了五份，可中间的面积大了。（看图说话）4-Pi>pi/4

云梦 发表于 2011-6-2 16:39:45

当N=7的时候是否是5和3（中间不过不是正方形罢了）的正方形变成的组合呢？

云梦 发表于 2011-6-3 10:39:48

gxqcn 发表于 2010-11-22 09:09 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

总长度=5.523858208004413109257002657087103329629565101247626205842202074

云梦 发表于 2011-6-3 11:18:21

这个总长度 怎么计算帮个忙，谢谢！

mathe 发表于 2013-12-13 18:59:30

其实我们如果考虑三条田梗交点附近很小范围将其放大，每条分界线可以近似看成直线，如同我们感觉地球是平的一样。于是显然必须两两夹角120度，不然最小角为顶角取等腰三角形然后取其费马点即可反证

mathe 发表于 2013-12-13 19:05:03

同样如果一条田梗通到边界，如果不垂直边界，必然一侧小于90度。同样小范围内都近似看成直线，我们可以在小范围内用垂直边界并且保持两边面积大小的小圆弧替换，容易证明长度变短。

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