282842712474 发表于 2010-2-6 14:03:03

本帖最后由 282842712474 于 2010-2-6 14:09 编辑

10# 282842712474

添加一个图像，可以看出应该有：$k\in $
所以要使原方程有解，右边的数要在0与2之间；
要使左边收敛，x要在0与$\sqrt{2}$之间

wayne 发表于 2010-2-6 23:36:02

你这么做有一个前提，就是k存在，
k存在就意味着式子必须收敛

282842712474 发表于 2010-2-6 23:42:24

你这么做有一个前提，就是k存在，
k存在就意味着式子必须收敛
wayne 发表于 2010-2-6 23:36 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
k的设置不需要函数的收敛为前提。

mathe 发表于 2010-2-7 11:21:56

k可以取更大一点点的范围

282842712474 发表于 2010-2-7 11:27:38

多大？

geslon 发表于 2010-2-7 11:46:08

a应该只能为1，（可以构造一个数列，a(n)=x^x^x....x(n个x)，判断数列a的敛散性）

当x大于0小于1时，数列收敛于1，即a为1
当x大于1时，数列发散
wayne 发表于 2010-2-6 13:26 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

当x大于1时，数列发散?
不是吧？
当X<=根2，a(n)<=2，是收敛的啊~~

mathe 发表于 2010-2-7 14:51:52

x最大可以取到$exp(1/e)~=1.444667861$

282842712474 发表于 2010-2-7 16:34:16



当x大于1时，数列发散?
不是吧？
当X
geslon 发表于 2010-2-7 11:46 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
x=2的时候已经无穷大了

282842712474 发表于 2010-2-7 16:36:47

x最大可以取到$exp(1/e)~=1.444667861$
mathe 发表于 2010-2-7 14:51 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
请问mathe，这结果如何得出？
应该是求$\root{n}{n}$的最大值吧？
我尝试求导数，但是好像无法求解。于是略略地从图象判断出$\sqrt{2}$，想不到结果和$\sqrt{2}$如此接近

mathe 发表于 2010-2-8 12:03:12

判断方程$x^y=y$中x和y的范围，两边求对数得到
$ln(x)={ln(y)}/y$
对函数${ln(y)}/y$求导，其导数为${1-ln(y)}/{y^2}$,所以导数有唯一零点$y=e$,而$y<e$时函数增,$y>e$时函数减，所以${ln(y)}/y$最大值为${ln(e)}/e=1/e$,于是我们得到$-infty<ln(x)<=1/e$,或$0<x<=exp(1/e)$.
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