直上云霄的方程

282842712474 · 发表于 2010-2-6 14:03:03

本帖最后由 282842712474 于 2010-2-6 14:09 编辑 10# 282842712474 x^k-k=0.PNG

添加一个图像，可以看出应该有：$k\in [0,2]$ 所以要使原方程有解，右边的数要在0与2之间；要使左边收敛，x要在0与$\sqrt{2}$之间

wayne · 发表于 2010-2-6 23:36:02

你这么做有一个前提，就是k存在， k存在就意味着式子必须收敛

282842712474 · 发表于 2010-2-6 23:42:24

你这么做有一个前提，就是k存在， k存在就意味着式子必须收敛 wayne 发表于 2010-2-6 23:36

k的设置不需要函数的收敛为前提。

mathe · 发表于 2010-2-7 11:21:56

k可以取更大一点点的范围

282842712474 · 发表于 2010-2-7 11:27:38

多大？

geslon · 发表于 2010-2-7 11:46:08

a应该只能为1，（可以构造一个数列，a(n)=x^x^x....x(n个x)，判断数列a的敛散性）当x大于0小于1时，数列收敛于1，即a为1 当x大于1时，数列发散 wayne 发表于 2010-2-6 13:26

当x大于1时，数列发散? 不是吧？当X<=根2，a(n)<=2，是收敛的啊~~

mathe · 发表于 2010-2-7 14:51:52

x最大可以取到$exp(1/e)~=1.444667861$

282842712474 · 发表于 2010-2-7 16:34:16

当x大于1时，数列发散? 不是吧？当X geslon 发表于 2010-2-7 11:46

x=2的时候已经无穷大了

282842712474 · 发表于 2010-2-7 16:36:47

x最大可以取到$exp(1/e)~=1.444667861$ mathe 发表于 2010-2-7 14:51

请问mathe，这结果如何得出？应该是求$\root{n}{n}$的最大值吧？我尝试求导数，但是好像无法求解。于是略略地从图象判断出$\sqrt{2}$，想不到结果和$\sqrt{2}$如此接近

mathe · 发表于 2010-2-8 12:03:12

判断方程$x^y=y$中x和y的范围，两边求对数得到 $ln(x)={ln(y)}/y$ 对函数${ln(y)}/y$求导，其导数为${1-ln(y)}/{y^2}$,所以导数有唯一零点$y=e$,而$ye$时函数减，所以${ln(y)}/y$最大值为${ln(e)}/e=1/e$,于是我们得到$-infty

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