直上云霄的方程

282842712474 · 发表于 2010-2-6 09:22:42

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$x^{x^{x^{x^{x^{...}}}}}=4$请求解？
各位先想一想

wayne · 发表于 2010-2-6 09:39:33

本帖最后由 wayne 于 2010-2-6 09:47 编辑

$\sqrt{2}$两边取对数即可

=====================
貌似代进去不对

282842712474 · 发表于 2010-2-6 09:42:01

本帖最后由 282842712474 于 2010-2-6 09:49 编辑

\sqrt{2}两边取对数即可
wayne 发表于 2010-2-6 09:39

再考虑一下？我认为不对

wayne · 发表于 2010-2-6 09:54:08

应该无解吧
这种数列不收敛的

mathe · 发表于 2010-2-6 10:08:44

简单，也就是说$x^4=4$,得出$x=sqrt(2)$,代入得到实际结果为2，所以没有解

282842712474 · 发表于 2010-2-6 10:21:13

简单，也就是说$x^4=4$,得出$x=sqrt(2)$,代入得到实际结果为2，所以没有解
mathe 发表于 2010-2-6 10:08

嗯，是这样的，具体情况我写在了
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/407/

wayne · 发表于 2010-2-6 10:22:12

呵呵，mathe很像特种兵，劲爆十足，
解决此题，却如进入了无人之境

mathe · 发表于 2010-2-6 13:12:23

问题可以扩展一下，
如果将右边的4改为一个正实数a,那么对于哪些a有解？
另外，如果不管右边，只看左边，对于哪些x,值收敛？
如果$x=root{n}{n}$,那么值是多少（允许数值计算,但是要给出比较有效的计算方法）

wayne · 发表于 2010-2-6 13:26:11

本帖最后由 wayne 于 2010-2-6 13:37 编辑

a应该只能为1，（可以构造一个数列，a(n)=x^x^x....x(n个x)，判断数列a的敛散性）

当x大于0小于1时，数列收敛于1，即a为1
当x大于1时，数列发散

282842712474 · 发表于 2010-2-6 13:57:46

本帖最后由 282842712474 于 2010-2-6 14:04 编辑

a应该只能为1，（可以构造一个数列，a(n)=x^x^x....x(n个x)，判断数列a的敛散性）

当x大于0小于1时，数列收敛于1，即a为1
当x大于1时，数列发散
wayne 发表于 2010-2-6 13:26

不，其实也就是方程$x^k -k=0$，$x\in [0,\sqrt{2}]$
k的值域是多少？

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[讨论] 直上云霄的方程