直上云霄的方程

mathe

而对于上面范围内的任意一个指定的x,求y我们相当于求函数$f(y)=x^y$和函数$g(y)=y$的交点
我们可以得出在$1<x<exp(1/e)$时，两个函数有两个交点，$0<x<=1$时唯一交点，$x=exp(1/e)$时两图像相切于唯一一点$(x=exp(1/e),y=e)$。
然后容易证明，如果有两个交点，$x^{x^{x^...}}$总是收敛到小的那一个点。于是计算极限就变成求$x^y=y$较小的解（如果两个以上的解）

282842712474

而对于上面范围内的任意一个指定的x,求y我们相当于求函数$f(y)=x^y$和函数$g(y)=y$的交点
我们可以得出在$1
mathe 发表于 2010-2-8 12:07

怎么在maxima画函数图像？
我写命令总是不对...
可以举一个例子吗？例如画出$y=x^{(1/x)}$的图像？

geslon

x=2的时候已经无穷大了
282842712474 发表于 2010-2-7 16:34

X=2当然无穷大，可是说X>1就发散岂不是错了？

gxqcn

在$1<x<=exp(1/e)$时y是存在的，只是需要证明，证明很简单，归纳证明对于这个范围的x,$x^{x^...}$有限次都小于对应的y而且单调增就可以了
mathe 发表于 2010-12-18 11:43

这个结论我感觉有问题。

当$x=0.001$时，结果为{0.001, 0.993116048, 0.001048701, 0.992782003, 0.001051124, 0.992765389, 0.001051245, 0.992764561, 0.001051251, 0.99276452, 0.001051251, 0.992764518, 0.001051251, 0.992764518, 0.001051251, 0.992764518, 0.001051251, 0.992764518, 0.001051251, 0.992764518, 0.001051251, 0.992764518, 0.001051251, 0.992764518, 0.001051251, 0.992764518, 0.001051251, 0.992764518, ...}在来回震荡。

以上数据来自 Excel 计算的结果，精度较弱，但足以发现一些问题。

mathe

在0<x<1时，的确还需要另外讨论。应该是只有$x>e^{-e}$的时候才可能收敛

mathe

对于$0<x<1$,那么求幂是交叉的，奇数项递增，偶数项递减，由于都显然有界，所以分别有极限，问题在于它们的极限是否相等。假设两个极限分别为a,b,那么我们有
$x^a=b,x^b=a$.取对数得到
$aln(x)=ln(b),bln(x)=ln(a)$得出${ln(b)}/a={ln(a)}/b=ln(x)$,所以$bln(b)=aln(a)$
现在我们查看在约束条件$aln(a)=bln(b),0<a<b<1$下,${ln(b)}/a$的取值范围
在这个约束条件下对a求导得到$1+ln(a)=(1+ln(b))b'_a$,
于是${ln(b)}/a$对a的求导结果为${b'_a}/{ab}-{ln(b)}/a^2$
另导数等于0，得到$bln(b)=ab'_a={a(1+ln(a))}/{1+ln(b)}$
所以$a=bln^2(b)$,或$ln(a)ln(b)=1$
也就是函数${ln(b)}/a$在$ln(a)ln(b)=1$时取最小值
我们做变量替换$s=-ln(a),t=-ln(b)$,于是我们的约束条件变成$sexp(-s)=texp(-t),0<t<s$,
求s,t使得$st=1$,或者说$sexp(-s)=1/sexp(-1/s)$,即$s^2=exp(s-1/s)$,即$2ln(s)-s+1/s=0$
求导就得出方程唯一解为$s=1$,于是我们知道在约束条件$aln(a)=bln(b),0<a<b<1$下，函数${ln(b)}/a={ln(a)}/b$有唯一极值点$a=b=e^{-1}$,实际上它在区域边界上，所以在内部单调。
于是我们得出$ln(x)$最大值为$a->e^{-1}$时得到，这时为$e^{-e}$,而$ln(x)$最小值在$a->0$时取到，这时$ln(x)$趋向无穷，即x趋向0.
也就是说，如果$x>=e^{-e}$,那么必然不存在两个不同的a,b,使得$x^a=b,x^b=a$,所以极限存在。
而对于$0<x<e^{-e}$,我们必然可以算出两个不同的a,b.而这时只需要验证奇数项和偶数项序列分别以它们为极限就可以得出整个数列极限不存在

mathe

怎么在maxima画函数图像？
我写命令总是不对...
可以举一个例子吗？例如画出$y=x^{(1/x)}$的图像？
282842712474 发表于 2010-2-8 16:43

我一般用wxMaxima里面的菜单,比如画$xln(x)$,注意不要将奇异点$x=0$包含进去
wxplot2d([x*log(x)], [x,0.001,5]);

wayne

26# mathe
呵呵,其实就是讨论函数 $x^{x^y}=y$