方程组x^3+y^3+z^3=x+y+z且x^2+y^2+z^2=xyz是否存在整数解
方程组{(x^3+y^3+z^3=x+y+z),(x^2+y^2+z^2=xyz):}是否存在整数解.可以证明上面的不定方程不存在正实数解, 但平凡解x=y=z=0与2负1正形式的实数解是存在的.
现在的问题是, 除了平凡解外, 上面的不定方程是否存在其他的整数解. 这个方程组是否有正实数解
http://zhidao.baidu.com/question/230009405.html
这个方程组是否有正实数解
http://wenwen.soso.com/z/q268846552.htm 问题的来源!(对不起，您两次发表间隔少于 15 秒，请不要灌水！) 本帖最后由 sir_chen 于 2011-2-27 16:05 编辑
设{(x^3+y^3+z^3=x+y+z=a),(xy+xz+yz=b),(x^2+y^2+z^2=xyz=c):}
由韦达定理知:x,y,z是方程t^3-at^2+bt-c=0的3根
由x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)得到:
a-3c=a(c-b)
由(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz得到:
a^2=c+2b
由此解得:b={a^3+3a^2-a}/{3(a+2)},c={a^3+2a}/{3(a+2)}
由x^2+y^2+z^2>=xy+xz+yz得到:
{a^3+2a}/{3(a+2)}>={a^3+3a^2-a}/{3(a+2)}
解得:a<=-2或0<=a<=1
若x,y,z均为整数, 那么a,b,c也都为整数.
当a=0时,b=c=0, x=y=z=0
当a=1时,b=c=1/3不为整数
当a<=-2时, 做如下讨论:
(1) a=-3p, 则p>=1
b=3p^2-p-1-2/{3p-2},c=3p^2+2p+2+4/{3p-2}
由3p-2<=2解得p<=1, 故p=1
从而a=-3,b=-1,c=11,方程t^3+3t^2-t-11=0无整数解
(2) a=-3p+1, 则p>=1
b=3p^2-3p-1/3-2/{3(p-1)},c=3p^2+1+2/3+4/{3(p-1)}
由1/3+2/{3(p-1)}为整数解得p=2
从而a=-5,b=5,c=15,方程t^3+5t^2+5t-15=0无整数解
(3) a=-3p+2, 则p>=2
b=3p^2-5p+1-2/{3p-4},c=3p^2-2p+2+4/{3p-4}
由3p-4<=2为整数解得p<=2,故p=2
从而a=-4,b=2,c=12,方程t^3+4t^2+2t-12=0无整数解
综上所述, 方程仅有唯一整数解x=y=z=0. x=-1,y=1,z=-1以及类似的整数解
或者说x,y,z当中有两个是-1,有一个是1 晕,我看错了!我把左端的看成3*x*y*z了 我猜应该没整数解,这属于数论的内容! 由(x^3+y^3+z^3)-3*x*y*z=1/2*(x+y+z)*((x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2)(*这个是恒等式,记为等式1*)
得到(x+y+z)-3(x^2+y^2+z^2)=1/2*(x+y+z)*((x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2)(*记为等式2*)
由两负数一正数,很显然可以假设x>0,y<0,z<0
由于是整数解,所以x>=1,y<=-1,z<=-1
所以等式2左边小于零,所以(x+y+z)<0 可以证明,如果方程组有除了(0,0,0)的整数解,那么x,y,z必定有一个值的绝对值大于100! 解得:a≤-2或0≤a≤1
应该是解得:a<-2或0≤a≤1(不能包含等于的,因为在分母上)