方程组x^3+y^3+z^3=x+y+z且x^2+y^2+z^2=xyz是否存在整数解

sir_chen

方程组${(x^3+y^3+z^3=x+y+z),(x^2+y^2+z^2=xyz):}$是否存在整数解. 可以证明上面的不定方程不存在正实数解, 但平凡解x=y=z=0与2负1正形式的实数解是存在的. 现在的问题是, 除了平凡解外, 上面的不定方程是否存在其他的整数解.

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这个方程组是否有正实数解 http://zhidao.baidu.com/question/230009405.html 这个方程组是否有正实数解 http://wenwen.soso.com/z/q268846552.htm

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sir_chen

设${(x^3+y^3+z^3=x+y+z=a),(xy+xz+yz=b),(x^2+y^2+z^2=xyz=c):}$ 由韦达定理知:$x,y,z$是方程$t^3-at^2+bt-c=0$的3根 由$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)$得到: $a-3c=a(c-b)$ 由$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$得到: $a^2=c+2b$ 由此解得:$b={a^3+3a^2-a}/{3(a+2)},c={a^3+2a}/{3(a+2)}$ 由$x^2+y^2+z^2>=xy+xz+yz$得到: ${a^3+2a}/{3(a+2)}>={a^3+3a^2-a}/{3(a+2)}$ 解得:$a<=-2$或$0<=a<=1$ 若$x,y,z$均为整数, 那么$a,b,c$也都为整数. 当$a=0$时,$b=c=0, x=y=z=0$ 当$a=1$时,$b=c=1/3$不为整数 当$a<=-2$时, 做如下讨论: $(1) a=-3p$, 则$p>=1$ $b=3p^2-p-1-2/{3p-2},c=3p^2+2p+2+4/{3p-2}$ 由$3p-2<=2$解得$p<=1$, 故$p=1$ 从而$a=-3,b=-1,c=11$,方程$t^3+3t^2-t-11=0$无整数解 $(2) a=-3p+1$, 则$p>=1$ $b=3p^2-3p-1/3-2/{3(p-1)},c=3p^2+1+2/3+4/{3(p-1)}$ 由$1/3+2/{3(p-1)}$为整数解得$p=2$ 从而$a=-5,b=5,c=15$,方程$t^3+5t^2+5t-15=0$无整数解 $(3) a=-3p+2$, 则$p>=2$ $b=3p^2-5p+1-2/{3p-4},c=3p^2-2p+2+4/{3p-4}$ 由$3p-4<=2$为整数解得$p<=2$,故$p=2$ 从而$a=-4,b=2,c=12$,方程$t^3+4t^2+2t-12=0$无整数解 综上所述, 方程仅有唯一整数解$x=y=z=0$.

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x=-1,y=1,z=-1以及类似的整数解 或者说x,y,z当中有两个是-1,有一个是1

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晕,我看错了!我把左端的看成3*x*y*z了

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我猜应该没整数解,这属于数论的内容!

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由(x^3+y^3+z^3)-3*x*y*z=1/2*(x+y+z)*((x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2)(*这个是恒等式,记为等式1*) 得到(x+y+z)-3(x^2+y^2+z^2)=1/2*(x+y+z)*((x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2)(*记为等式2*) 由两负数一正数,很显然可以假设x>0,y<0,z<0 由于是整数解,所以x>=1,y<=-1,z<=-1 所以等式2左边小于零,所以(x+y+z)<0

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可以证明,如果方程组有除了(0,0,0)的整数解,那么x,y,z必定有一个值的绝对值大于100!

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解得:a≤-2或0≤a≤1 应该是解得:a<-2或0≤a≤1(不能包含等于的,因为在分母上)