想证明内心定理？s和t的具体含义？复向量的共轭乘法如何规定？i大约是虚数单位。
本帖最后由 dlsh 于 2019-10-31 22:34 编辑
AB=AC，D和E在两边延长线上，DB/DC=CE/AE=1/2，证明：△BDC∽△ACE
应用向量商相对简单，不过向量商有很大争议。
本帖最后由 dlsh 于 2019-10-31 23:13 编辑
先构造B和C两点，再依次构造D、Ａ和E。
假设B在原点，c=1,v是向量DA到DC的方向比，\(\frac{\vec{DC}}{\vec{DA}}=2v\)，可以求出\(d=\frac{1}{1-2v}\)，\(\bar{d}=\frac{v}{2-v}\)，\(a=\frac{2-v}{2\left ( v^{2}-v+1 \right )}
\)，现在作另外一点E0满足条件向量E0A/E0C=2v，可以得到
\(e_{0}=\frac{2v^{2}-v+2}{2v^{2}-2v+2}\),因为E0在实轴上，并且满足条件的E点唯一，所以这两点重合，结论成立。
关于方向比，参考国际会议学术论文。
如果CH=1/3AH，可以得到\(h=\frac{2-3v}{2(-2v+1)}\),\(\vec{HE}=\frac{-v^{2}(v+1)}{2(-2v+1)(v^{2}-v+1)}，\vec{HA}=\frac{3v^{2}(v-1)}{2(-2v+1)(v^{2}-v+1)}，
\frac{\vec{HE}}{\vec{HA}}=\frac{-(v+1)}{3(v-1)}\)；
显然\(\frac{\vec{HE}}{\vec{HA}}\)=\(-\bar{(\frac{\vec{HE}}{\vec{HA}})}\),所以它们互相垂直。另外，也容易求出HE直线的复斜率是\(\frac{v^2(v-2)}{-2v+1}\)，这说明\(2\angle NEO=2\angle ABC-3\angle BDH\)
由于复斜率比共轭比更直观，以后都用这种称呼。
向量商概念在梁绍鸿教授《初等几何复习与研究》中已经出现，不过只局限于同一直线上的向量。本题构图简单，但是内容丰富，可能还有其它几何关系有待发掘。
12L是对1L内心情形的证明，i是虚数单位，共轭乘积与普通的复数共轭乘积是一致的。复向量跟你提到的向量的方向比其实是一样，即：平面上的任一向量可表示为复数乘以另一个向量，这里复数的意义即为向量间的旋转伸缩。以下用复向量法来证明三角形相似问题：
如果我们规定，各点均在复平面上， 即转为纯复数法，证明过程是类似的，不这样处理的原因即是纯复数法是全局性的，不能很好地表示点与点之间的局部性关系。
你的方法也适用于立体几何？
本帖最后由 dlsh 于 2019-11-2 21:14 编辑
这是与一位老师在数学中国的讨论
http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=97800&highlight=%CF%F2%C1%BF%C9%CC
下面是十多年前一位网友在人民教育出版社提出的反对意见。
[原创]科普漫谈：什么是商？有可能定义向量商吗？
[这个贴子最后由后学未进在 2006/05/23 09:19pm 第 2 次编辑] 要回答这个问题首先要搞清楚什么叫商。大家上小学的时候就学到这么一句话：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。为什么不先定义除法，把乘法定义为除法的逆运算？这里头有什么玄机？先来说说什么叫运算，现在大家都知道函数的概念了，从广义上讲，函数跟运算本质上是相同的，不过一般把某个集合S上的n元运算的定义成S的n重笛卡尔积S×S×……×S到S的函数，像实数的加法、乘法都属于二元运算，而平方、立方就是一元运算。大家学过函数都知道，一个函数是由定义域、值域和对应规则决定的，至于函数叫什么名字倒是无关紧要。定义了运算就可以研究它们的性质，如交换律，结合律，两种运算之间的规律如分配律等等。大家都喜欢研究有“好”性质的东西，但是一般而言逆运算是没办法保持原有运算的性质的，比如说众所周知的，也是小学低年级同学常犯错误的地方：减法、除法不满足交换律，结合律，因此选择减法或者除法作为出发点不说是愚蠢的，至少也是有点糊涂。减法的定义与数系的扩张：如果a+b=c，那么我们就说b=c-a，这就定义了减法。很显然，要让这个减法有确定的含义必须保证对任意的a和c，方程a+x=c都要有唯一解。要是“加法”的作用对象集合选得不合适，有可能方程无解，这时候就需要做一些调整，把对象集合扩大，保持老元素的运算不变，“自然地”补充定义新元素的运算。举个例子，取S为自然数集，“加法”就是普通的加法，很显然，如果限制在自然数范围内，并不总是可以作减法的，怎么样扩充才能使减法总是有意义呢？有人说了，很简单，引进负数嘛！可是什么是负数呢？问问自己，能不能说出比较严格的定义？这事并不是看起来的那么简单。这里是一种比较一般的方法，对任意自然数a、b，定义一种新的“数”x=(a,b)，把它作为x=a-b的一种隐性表达。但是这个定义有一个问题：代表自然数的那些“数”——即a>b的那些(a,b)——和原来的自然数间不是一一对应，比如说(1,0)和(2,1)都对应于1，这将给进一步的定义带来麻烦，怎么办？很简单，把对应于同一个“真正的数”的(a,b)放在一起就可以了，于是有了新的“数”的定义：={(c,d)|c,d是自然数，且a+d=b+c}，然后把加法定义为：+=，注意，这里必须保证定义与代表元选取无关，英文叫well-defined，就是说，如果=，=，则=（容易验证确实成立），否则加法就定义不起来。在这种定义下减法就没有问题了，同时也可以扩充定义这种数的乘法：*=。上面的定义看起来有点不太自然，但却是整数的一种严格的构造方法，无需借助直观来了解负数。作为练习，大家可以试一下把非零整数集上的乘法扩充一下，方法是完全相同的，将自然地得到有理数及其加法、乘法运算。上面的例子说明，要得到除法，必须先有一个“好”的乘法，单独谈除法或者商是没有任何意义的。那么到底能不能找到一个“好”的向量乘法，使得我们可以定义向量的商呢？为了回答这个问题，先考察一下已知的两种向量积：内积和外积，这两种积对应的方程A*X=r或者A×X=B的解都不唯一，后一个方程还不一定总有解——A、B不互相垂直时就无解，内积的结果是实数，更不行。都不符合要求。难道就没有办法了吗？当然不是，事实上有很多种方法可以定义“好”的向量乘法，比较有名的就是Banach代数。什么是Banach代数？听起来很神秘的样子，其实并不复杂，以大家现在的知识，可以作一个比较狭义的定义（注意，数学上的定义比这个要广泛得多）：在欧式空间上定义一种“乘法”×，满足 1. 结合律：(V1×V2)×V3=V1×(V2×V3)； 2. 线性性和左右分配率：(aV1+bV2)×V3=a(V1×V3)+b(V2×V3)，V1×(aV2+bV3)=a(V1×V2)+b(V1×V3)，这里a,b是实数； 3. 连续性：|V1×V2|≤|V1|*|V2|，这里|V|表示向量V的长度。这个带有乘法的空间就叫Banach代数。第三条现在很难一两句话说清楚它的必要性，以后学多了会明白的。除此之外头两条可以说是能够把一种运算称为乘法最基本的要求——注意这里不要求交换律。Banach代数里是有可能定义出除法的，当然，并不保证就一定能定义除法，不要搞混了。如果Banach代数对乘法而言存在一个单位向量E，扮演实数乘法里“1”的角色，即对任何向量V有E×V=V×E=V，|E|=1，这种E通常叫做单位元，显然，单位元最多只有一个。有一个有趣的命题：有单位元的二维欧式空间上的Banach代数本质上只有一种，就是说可以找到一个直角坐标系，把向量写成坐标(a,b)后乘法是(a,b)×(c,d)=(ac-bd,ad+bc)，眼尖的同学可能已经看出来了，没错，就是复数的乘法，(a,b)对应a+bi。有兴趣不妨自己证明，初中的知识足够了。这样就自然地把实数（等价意义上唯一地）扩充到复数。这种乘法可以定义它的逆运算，叫二维向量除法也没什么问题，不过这种乘法跟一般说的向量内积、外积、混合积就没什么关系了。有单位元的二维欧式空间上的Banach代数一定跟复数等价，有没有可能把复数进一步扩充呢？复数有两个基本单位：1和i，1是单位元，i*i=-1，因此可以把复数称为二元数，能不能再添一个单位j，变成三元数？如果想满足上面的头两条，答案就是不可能。证明如下：i*j一定是个三元数：i*j=a+bi+cj，a,b,c都是实数。从而-j=(i*i)*j=i*(i*j)=i*(a+bi+cj)=ai-b+c(a+bi+cj)=(ac-b)+(a+bc)i+c^2j，但是1，i，j是三个独立的向量，因此必须有ac-b=0，a+bc=0，c^2=-1，而c是实数，矛盾。但是跳一步扩充到四元数就有可能。这时候有四个单位1，i，j，k，i^2=j^2=k^2=-1，i*j=-j*i=k，根据这些可以推导出i*k、k*i和j*k、k*j来，比如说，i*k=i*(i*j)=(i*i)*j=-j。四元数乘法不满足交换率，但是可以定义除法，显然这时候有两种除法，左除和右除，a*x=b的解是x=a\b——左除，y*a=b的解是y=b/a——右除，a\b不等于b/a。不过对于不交换的乘法，一般也就不提什么除法了。
如果按照题设先构造等腰三角形ABC，设\(v=\cos A+i\sin A\),可以求出
\(\D e_{1,2}=\frac76\pm\frac{\sqrt{v^2-14v+1}}{6v-6}\)
如何区别这这两点，哪一点在BC延长线上？
研究共轭导数可以从圆和双曲线上的点的切线开始。