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楼主: dlsh

[猜想] 没有完成的理论

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 楼主| 发表于 2019-10-31 19:52:52 | 显示全部楼层
想证明内心定理?s和t的具体含义?复向量的共轭乘法如何规定?i大约是虚数单位。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-10-31 21:39:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2019-10-31 22:34 编辑

AB=AC,D和E在两边延长线上,DB/DC=CE/AE=1/2,证明:△BDC∽△ACE
应用向量商相对简单,不过向量商有很大争议。

等腰三角形相似

等腰三角形相似
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 楼主| 发表于 2019-10-31 23:09:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2019-10-31 23:13 编辑

先构造B和C两点,再依次构造D、A和E。
假设B在原点,c=1,v是向量DA到DC的方向比,\(\frac{\vec{DC}}{\vec{DA}}=2v\),可以求出\(d=\frac{1}{1-2v}\),\(\bar{d}=\frac{v}{2-v}\),\(a=\frac{2-v}{2\left ( v^{2}-v+1 \right )}
\),现在作另外一点E0满足条件向量E0A/E0C=2v,可以得到
\(e_{0}=\frac{2v^{2}-v+2}{2v^{2}-2v+2}\),因为E0在实轴上,并且满足条件的E点唯一,所以这两点重合,结论成立。

关于方向比,参考国际会议学术论文。
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 楼主| 发表于 2019-11-1 23:30:49 | 显示全部楼层
如果CH=1/3AH,可以得到\(h=\frac{2-3v}{2(-2v+1)}\),\(\vec{HE}=\frac{-v^{2}(v+1)}{2(-2v+1)(v^{2}-v+1)},\vec{HA}=\frac{3v^{2}(v-1)}{2(-2v+1)(v^{2}-v+1)},
\frac{\vec{HE}}{\vec{HA}}=\frac{-(v+1)}{3(v-1)}\);
显然\(\frac{\vec{HE}}{\vec{HA}}\)=\(-\bar{(\frac{\vec{HE}}{\vec{HA}})}\),所以它们互相垂直。另外,也容易求出HE直线的复斜率是\(\frac{v^2(v-2)}{-2v+1}\),这说明\(2\angle NEO=2\angle ABC-3\angle BDH\)
由于复斜率比共轭比更直观,以后都用这种称呼。
向量商概念在梁绍鸿教授《初等几何复习与研究》中已经出现,不过只局限于同一直线上的向量。本题构图简单,但是内容丰富,可能还有其它几何关系有待发掘。 QQ浏览器截屏未命名.png
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发表于 2019-11-2 17:10:00 | 显示全部楼层
12L是对1L内心情形的证明,i是虚数单位,共轭乘积与普通的复数共轭乘积是一致的。复向量跟你提到的向量的方向比其实是一样,即:平面上的任一向量可表示为复数乘以另一个向量,这里复数的意义即为向量间的旋转伸缩。以下用复向量法来证明三角形相似问题:
Xxx.gif
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发表于 2019-11-2 17:17:37 | 显示全部楼层
如果我们规定,各点均在复平面上, 即转为纯复数法,证明过程是类似的,不这样处理的原因即是纯复数法是全局性的,不能很好地表示点与点之间的局部性关系。
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 楼主| 发表于 2019-11-2 20:49:47 | 显示全部楼层
你的方法也适用于立体几何?
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 楼主| 发表于 2019-11-2 21:05:03 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2019-11-2 21:14 编辑

这是与一位老师在数学中国的讨论
http://www.mathchina.com/bbs/for ... =%CF%F2%C1%BF%C9%CC
下面是十多年前一位网友在人民教育出版社提出的反对意见。
[原创]科普漫谈:什么是商?有可能定义向量商吗?
[这个贴子最后由后学未进在 2006/05/23 09:19pm 第 2 次编辑] 要回答这个问题首先要搞清楚什么叫商。大家上小学的时候就学到这么一句话:减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算。为什么不先定义除法,把乘法定义为除法的逆运算?这里头有什么玄机?先来说说什么叫运算,现在大家都知道函数的概念了,从广义上讲,函数跟运算本质上是相同的,不过一般把某个集合S上的n元运算的定义成S的n重笛卡尔积S×S×……×S到S的函数,像实数的加法、乘法都属于二元运算,而平方、立方就是一元运算。大家学过函数都知道,一个函数是由定义域、值域和对应规则决定的,至于函数叫什么名字倒是无关紧要。定义了运算就可以研究它们的性质,如交换律,结合律,两种运算之间的规律如分配律等等。大家都喜欢研究有“好”性质的东西,但是一般而言逆运算是没办法保持原有运算的性质的,比如说众所周知的,也是小学低年级同学常犯错误的地方:减法、除法不满足交换律,结合律,因此选择减法或者除法作为出发点不说是愚蠢的,至少也是有点糊涂。减法的定义与数系的扩张:如果a+b=c,那么我们就说b=c-a,这就定义了减法。很显然,要让这个减法有确定的含义必须保证对任意的a和c,方程a+x=c都要有唯一解。要是“加法”的作用对象集合选得不合适,有可能方程无解,这时候就需要做一些调整,把对象集合扩大,保持老元素的运算不变,“自然地”补充定义新元素的运算。举个例子,取S为自然数集,“加法”就是普通的加法,很显然,如果限制在自然数范围内,并不总是可以作减法的,怎么样扩充才能使减法总是有意义呢?有人说了,很简单,引进负数嘛!可是什么是负数呢?问问自己,能不能说出比较严格的定义?这事并不是看起来的那么简单。这里是一种比较一般的方法,对任意自然数a、b,定义一种新的“数”x=(a,b),把它作为x=a-b的一种隐性表达。但是这个定义有一个问题:代表自然数的那些“数”——即a>b的那些(a,b)——和原来的自然数间不是一一对应,比如说(1,0)和(2,1)都对应于1,这将给进一步的定义带来麻烦,怎么办?很简单,把对应于同一个“真正的数”的(a,b)放在一起就可以了,于是有了新的“数”的定义:={(c,d)|c,d是自然数,且a+d=b+c},然后把加法定义为:+=,注意,这里必须保证定义与代表元选取无关,英文叫well-defined,就是说,如果=,=,则=(容易验证确实成立),否则加法就定义不起来。在这种定义下减法就没有问题了,同时也可以扩充定义这种数的乘法:*=。上面的定义看起来有点不太自然,但却是整数的一种严格的构造方法,无需借助直观来了解负数。作为练习,大家可以试一下把非零整数集上的乘法扩充一下,方法是完全相同的,将自然地得到有理数及其加法、乘法运算。上面的例子说明,要得到除法,必须先有一个“好”的乘法,单独谈除法或者商是没有任何意义的。那么到底能不能找到一个“好”的向量乘法,使得我们可以定义向量的商呢?为了回答这个问题,先考察一下已知的两种向量积:内积和外积,这两种积对应的方程A*X=r或者A×X=B的解都不唯一,后一个方程还不一定总有解——A、B不互相垂直时就无解,内积的结果是实数,更不行。都不符合要求。难道就没有办法了吗?当然不是,事实上有很多种方法可以定义“好”的向量乘法,比较有名的就是Banach代数。什么是Banach代数?听起来很神秘的样子,其实并不复杂,以大家现在的知识,可以作一个比较狭义的定义(注意,数学上的定义比这个要广泛得多):在欧式空间上定义一种“乘法”×,满足 1. 结合律:(V1×V2)×V3=V1×(V2×V3); 2. 线性性和左右分配率:(aV1+bV2)×V3=a(V1×V3)+b(V2×V3),V1×(aV2+bV3)=a(V1×V2)+b(V1×V3),这里a,b是实数; 3. 连续性:|V1×V2|≤|V1|*|V2|,这里|V|表示向量V的长度。这个带有乘法的空间就叫Banach代数。第三条现在很难一两句话说清楚它的必要性,以后学多了会明白的。除此之外头两条可以说是能够把一种运算称为乘法最基本的要求——注意这里不要求交换律。Banach代数里是有可能定义出除法的,当然,并不保证就一定能定义除法,不要搞混了。如果Banach代数对乘法而言存在一个单位向量E,扮演实数乘法里“1”的角色,即对任何向量V有E×V=V×E=V,|E|=1,这种E通常叫做单位元,显然,单位元最多只有一个。有一个有趣的命题:有单位元的二维欧式空间上的Banach代数本质上只有一种,就是说可以找到一个直角坐标系,把向量写成坐标(a,b)后乘法是(a,b)×(c,d)=(ac-bd,ad+bc),眼尖的同学可能已经看出来了,没错,就是复数的乘法,(a,b)对应a+bi。有兴趣不妨自己证明,初中的知识足够了。这样就自然地把实数(等价意义上唯一地)扩充到复数。这种乘法可以定义它的逆运算,叫二维向量除法也没什么问题,不过这种乘法跟一般说的向量内积、外积、混合积就没什么关系了。有单位元的二维欧式空间上的Banach代数一定跟复数等价,有没有可能把复数进一步扩充呢?复数有两个基本单位:1和i,1是单位元,i*i=-1,因此可以把复数称为二元数,能不能再添一个单位j,变成三元数?如果想满足上面的头两条,答案就是不可能。证明如下:i*j一定是个三元数:i*j=a+bi+cj,a,b,c都是实数。从而-j=(i*i)*j=i*(i*j)=i*(a+bi+cj)=ai-b+c(a+bi+cj)=(ac-b)+(a+bc)i+c^2j,但是1,i,j是三个独立的向量,因此必须有ac-b=0,a+bc=0,c^2=-1,而c是实数,矛盾。但是跳一步扩充到四元数就有可能。这时候有四个单位1,i,j,k,i^2=j^2=k^2=-1,i*j=-j*i=k,根据这些可以推导出i*k、k*i和j*k、k*j来,比如说,i*k=i*(i*j)=(i*i)*j=-j。四元数乘法不满足交换率,但是可以定义除法,显然这时候有两种除法,左除和右除,a*x=b的解是x=a\b——左除,y*a=b的解是y=b/a——右除,a\b不等于b/a。不过对于不交换的乘法,一般也就不提什么除法了。

点评

这个不懂  发表于 2021-6-19 22:59
还有一种四元数——双复数,有除法运算,不存在左除和右除的问题。  发表于 2020-1-7 11:36
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 楼主| 发表于 2019-11-6 21:25:26 | 显示全部楼层
如果按照题设先构造等腰三角形ABC,设\(v=\cos A+i\sin A\),可以求出
\(\D e_{1,2}=\frac76\pm\frac{\sqrt{v^2-14v+1}}{6v-6}\)
如何区别这这两点,哪一点在BC延长线上?

点评

D点更难判断  发表于 2019-11-7 20:35
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-11-7 20:31:14 | 显示全部楼层
研究共轭导数可以从圆和双曲线上的点的切线开始。
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