没有完成的理论

dlsh

dlsh 发表于 2011-6-23 20:58
对于圆方程\(z\cdot\overline z=1\)求共轭导数严重的问题是常数的共轭导数是0吗

常数的共轭导数不可能等于1.以z=kz'+c为例，其中c是常数，套用实数方法，其复斜率等于k，如果复斜率=k+1，会导致复斜率=k+n,n可以是任何正整数。
似乎很难定义共轭导数

hujunhua

dlsh 发表于 2011-6-23 20:58
对于圆方程\(z\cdot\overline z=1\)求共轭导数严重的问题是常数的共轭导数是0吗

这里存在问题吗？
虽然`z=C`时， `\D \frac{dz}{d\bar z}=\frac00`不定，但这并不影响计算`z\bar z=1`的共轭导数：
方法1（复合函数求导）：`\D z\bar z=1\to dz\cdot\bar z+zd\bar z=0\to\frac{dz}{d\bar z}=-\frac z{\bar z}=-z^2`
方法2（分离变量求导）：`\D z\bar z=1\to z=\frac1{\bar z}\to dz=-\frac{d\bar z}{\bar z^2}\to \frac{dz}{d\bar z}=-\frac1{\bar z^2}=-z^2`

hujunhua

我认为dlsh的方法说到底是做了一个变换：\[\begin{cases}x=\D\frac{z+\bar z}2\\y=\D\frac{z-\bar z}{2\text{i}}\end{cases}\]
将用`(x,y)`表达的解析几何方法转化为用`(z,\bar z)`表达的复数方法。

dlsh指出，用`(z,\bar z)`表达的复数方法比用`(x,y)`表达的解析几何方法的最大优势在于，用`\D\frac{z}{\bar z}`提取的角度信息比用`\D\frac yx`提取的角度信息，关于角度的运算表达式更方便和简明，从而简化了很多几何元素的代数表达式，极大地增强了过程的可读性。

当然，dlsh的重建过程不是由既有的`f(x,y)`代换为`f(\frac{z+\bar z}2,\frac{z-\bar z}{2\text{i}})`再整理为`g(z,\bar z)`, 大部分是直接重建。这个方向是正确的。

如果是我的话，想拔高一点，论文题目可能就是《解析几何的复数化表达系统》。

dlsh

hujunhua 发表于 2022-1-13 16:51
我认为dlsh的方法说到底是做了一个变换：\[\begin{cases}x=\D\frac{z+\bar z}2\\y=\D\frac{z-\bar z}{2\tex ...

三十年前最先使用复斜率概念，后来考虑到可能与斜率混淆，后来采用共轭比概念，2006年参加学术会议回国后，受吴文俊中心李教授邀请，与他和高教授的几位研究生作了学术交流，他提议改成复斜率，当时我不赞成，现在我已经完全接受，最近十年，在东方论坛有网友指出：“共轭比”就是Morley二十年代发现的“clinant”，但是已经被学术界忘记，所以并没有中译名，不过定义并不完全相同，在知网上还发现国内有作者在不知名期刊提出过“复斜率”概念，但是没有提出与直线倾斜角度的关系。
论文的原题目是“共轭比概念及应用”，因为国内一直发表不了，李教授提议向第六届国际几何自动推理会议投稿，并说影响更大，帮我修改论文时就改成了现在的题目。
     奇怪的是，当时幻灯片发布完后主持人向大家提问是否有问题，参会者约二十位学者没有谁提问，会后大会主席给与好评，但是在最后出版阶段被否定了。否定意见与会议征求稿的评价大相径庭，目前没有看到普遍应用，似乎只有天山草老师解决了一些问题。
     论文主要探讨初等几何的机器证明，而解析几何主要讨论圆锥曲线，对于椭圆、抛物线和双曲线没有优势，反而比较麻烦。
     复数的优势除了发现角的的和差关系，还有线段的乘积，和一些与垂心有关的结论。
      https://bbs.emath.ac.cn/thread-18103-1-1.html
     

dlsh

hujunhua 发表于 2022-1-12 09:26
这里存在问题吗？
虽然`z=C`时， `\D \frac{dz}{d\bar z}=\frac00`不定，但这并不影响计算`z\bar z=1` ...

就圆的方程来看，你已经假设常数的共轭导数等于0，这推导的结果似乎是对的。但是从几何意义来看有很大的问题：
用\(k、\bar{k}\)表示斜率和复斜率，对应共轭导数和导数，有公式：\(\bar{k}=\frac{1+ki}{1-ki}\)。显然常数的导数等于0，于是\(\bar{k}=1\)，这将导致常数的共轭导数等于任何正整数的荒谬结果，无法解决这个问题。
微积分的基础是极限理论，对于\(g(z,\bar{z})=0\)如何求共轭导数？需要转换成\(f(x,y)=0\)吗？好象不能把实函数的公式完全套用过来，如何判断间断点？
不过，在几何证明中，似乎复斜率的一个优点是在斜率不存在时，复斜率还存在（=-1），总不能由两直线的斜率不存在推出直线平行？

hujunhua

dlsh 发表于 2022-1-14 22:27
就圆的方程来看，你已经假设常数的共轭导数等于0，这推导的结果似乎是对的。但是从几何意义来看有很大的 ...

你被“常数”一词把自己绕晕了。

所谓“常数”，即常函数。33#的坐标变换存在旋转，原坐标系下的常函数不可能在新坐标系下还是常函数，反之一样。

`(x,y)`坐标系中的常函数 `y=C`,  在`(z,\bar z)`坐标系中的对应函数为 `z=\bar z+2\text iC`,不是常函数。
在`(x,y)`坐标系中，`dy=0`, 故`k=0`, 在对应的`(z,\bar z)`坐标系中，`dz=d\bar z`, 共轭导数用两个方法计算结果都是1：
1、由公式`\bar k=\frac{1+k\text i}{1-k\text i}\to \bar k=\frac{1+0\text i}{1-0\text i}=1`
2、由定义`\bar k=\frac{dz}{d\bar z}`直接计算, `\bar k=1`
`(z,\bar z)`坐标系中的常函数`z=C=a+b\text i`, 对应于`(x,y)`坐标系中的一个定点`(a,b)`,即`x,y`皆为常数，故`dx=dy=0, \to k=\frac{dy}{dx}=\frac00`是不定的.
在`(z,\bar z)`坐标系中，`z=C=a+b\text i\to \bar z=\bar C=a-b\text i`,所以`dz=d\bar z=0\to\bar k=\frac00`亦是不定的
即无论从公式还是从定义计算，这时`\bar k`都是不定的。可见一切都是自洽的，并不存在你所说的严重的荒谬。

hujunhua

“共轭导数的定义感觉远没有导数严密，也没有相应的极限理论支持”

不存在的，你把它像33#那样看作一种坐标变换，所谓共轭导数不过是新坐标系下的导数。于是一切皆有现成的理论。

它的微积分，不过是一个Jacobian矩阵过渡一下而已。

不过`(z,\bar z)`坐标系确实有它的特殊性，在其中的常函数的导数是不定的。

dlsh

谢谢老师耐心指导。
即坐标系的常函数y=C，表示成\((z，\bar{z})\)坐标,不是常函数。但是对\(z\bar{z}=1\)，求导，得\(z'\bar{z}+z=0，即z'=-\frac{z}{\bar{z}}=-z^2\)，这是一个对的结果。1在这里应该看成常数，根据前面的讨论，它的导数是不定的，那么取0合理吗？
对于函数\(g(z,\bar{z})=0\)如果不转换成\(f(x,y)=0\)，能否有新的方法判断它表示的图像性质，比如连续性、极值点、拐点和单调性等？可能不容易，因为实数函数导数存在的条件是左右导数相等，共轭导数不好定义。

hujunhua

“1在这里应该看成常数，根据前面的讨论，它的导数是不定的，那么取0合理吗？”
`z=z_1+z_2`,
`\D\frac{dz}{d\bar z}=\frac{d(z_1+z_2)}{d(\bar{z_1}+\bar{z_2})}=\frac{dz_1+dz_2}{d\bar{z_1}+d\bar{z_2}}\ne\frac{dz_1}{d\bar{z_1}}+\frac{dz_2}{d\bar{z_2}}`
所以，(1)'在这里取0是合理的，因为它的分子是`d(z\bar z)=0`, 分母不是`d(\bar zz)`而是`d\bar z\ne0`.
再次请注意，`z=z_1+z_2`, `\D\frac{dz}{d\bar z}=\frac{d(z_1+z_2)}{d\bar z}=\frac{dz_1}{d\bar z}+\frac{dz_2}{d\bar z}\ne\frac{dz_1}{d\bar{z_1}}+\frac{dz_2}{d\bar{z_2}}`