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楼主: dlsh

[猜想] 没有完成的理论

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发表于 2019-11-9 01:15:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-11-9 01:42 编辑
creasson 发表于 2019-10-28 23:30
这里我给一个例子


题:三角形 ABC 所在平面,求一点 P ,使三个三角形 PAB、PBC、PCA 的周长相等。

利用三角函数解题。

1,先找角度。
   \(∠CAB=A\ \ \ \ ∠ABC=B\ \ \ \ ∠BCA=C\)

   \(∠PAB=\theta\ \ \ \ \ ∠PAC=A-\theta\)

2,再找长度。
   \(BC=\sin A\ \ \ \ CA=\sin B\ \ \ \ AB=\sin C\)

   \(PA=x\ \ \ \ \ \ PB=y\ \ \ \ \ \ PC=z\)

   \(y^2=x^2+(\sin C)^2-2x\sin C\cos\theta\ \ \)    (1)
           
   \(Z^2=x^2+(\sin B)^2-2x\sin B\cos(A-\theta)\)   (2)

3,根据周长相等解题。
   \(\sin B+x+z=\sin A+y+z=\sin C+x+y\)   (3)

   由第 1 个等号得:\(x+\sin B-\sin A=y\)     把  \(y\)  换成   (1)

   \(\D x=\frac{(\sin C+\sin B-\sin A)(\sin C-\sin B+\sin A)}{2(\sin B-\sin A+\sin C\cos\theta )}\)

   由第 2 个等号得:\(x+\sin C-\sin A=z\)     把  \(z\)  换成   (2)

   \(\D x=\frac{(\sin B+\sin C-\sin A)(\sin B-\sin C+\sin A)}{2(\sin C-\sin A+\sin B\cos (A-\theta))}\)
   即:
   \(\D\frac{(\sin C+\sin B-\sin A)(\sin C-\sin B+\sin A)}{2(\sin B-\sin A+\sin C\cos\theta )}=\frac{(\sin B+\sin C-\sin A)(\sin B-\sin C+\sin A)}{2(\sin C-\sin A+\sin B\cos (A-\theta))}=x\)

由第 1 个等号解得角度:\(\theta\)

由第 2 个等号解得长度:\(x\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-11-13 21:29:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2019-11-13 21:31 编辑

不赞成,具体参考国际会议学术论文,向量商概念在梁绍鸿教授《初等几何复习与研究》中已经出现,但是只局限于在一条直线上的向量。
向量为什么不存在除法.pdf (186.54 KB, 下载次数: 3)
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发表于 2019-11-13 23:20:52 | 显示全部楼层
dlsh 发表于 2019-11-13 21:29
不赞成,具体参考国际会议学术论文,向量商概念在梁绍鸿教授《初等几何复习与研究》中已经出现,但是只局限 ...

这篇短文说向量除法不存在的原因在于向量的两种乘法定义都是不完整的,这里定义平面上向量的全积$\otimes $:若\[\mathop a\limits^ \to   = {z_1}\mathop c\limits^ \to  ,\mathop b\limits^ \to   = {z_2}\mathop d\limits^ \to  \]
则\[\mathop a\limits^ \to   \otimes \mathop b\limits^ \to   = {z_1}\mathop {{z_2}}\limits^{\_\_} \mathop c\limits^ \to   \otimes \mathop d\limits^ \to  \]
并且\[\mathop a\limits^ \to   \otimes \mathop a\limits^ \to   = |a{|^2}\]
可以看到,全积包含了向量的点乘和叉乘。

点评

向量用于解决几何问题,效力远不如复数。  发表于 2019-11-15 22:41
全积涉及到四个向量a,b,c,d?如何用于几何证明,比如蝴蝶定理。  发表于 2019-11-15 12:54
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 楼主| 发表于 2019-11-15 13:21:40 | 显示全部楼层
如图,假设D和E是三角形ABC对应边的中点,\(\frac{\vec{DA}}{\vec{DB}}\)=\(\frac{\vec{EA}}{\vec{EC}}\)=\(\frac{1}{2}\),显然\(\frac{\vec{DA}}{\vec{EA}}\)=\(\frac{\vec{DB}}{\vec{EC}}\)

向量商

向量商
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 楼主| 发表于 2019-12-2 21:04:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2019-12-2 21:06 编辑

如果按照题设先构造等腰三角形ABC,B在原点,BC在实轴上,并且等于单位长度,设v=cosA+isinA,可以求出
\(d_{1}=-\frac{\sqrt{v^2-14v+1}+v-1}{6v},d_{2}=\frac{\sqrt{v^2-14v+1}-v+1}{6v}\),哪一点在AB延长线上?

点评

关于GroebnerBasis了解不多,也超出能力,感觉学者们在直接求解困难时,才用你说的方法,不论怎样,对于出现根式的情形 ,从纯学术的观点看,还是有必要研究的。  发表于 2019-12-4 20:43
用解析方法证明几何问题,是必然会遇到多项式方程的,不能像你这么直接去求解,尤其是含根式的解,能消元的做消元处理,不容易消元的用GroebnerBasis去处理,在很多情况下, 也可以通过适当的选点、选参数化简问题。  发表于 2019-12-4 10:07
其实对于实数也不容易,比如直线和圆的两个交点,复数当然更难,需要从理论上突破。  发表于 2019-12-3 20:14
问题是这是需要解决的问题,并且有时候无法避免,很难转化成多项式关系,什么是相容性?  发表于 2019-12-3 20:12
应避免使用复数开方,因为不易区分属于哪一个分支。尽可能转化成多项式关系,用多项式理论去证明相容性。  发表于 2019-12-3 08:22
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 楼主| 发表于 2019-12-4 20:36:51 | 显示全部楼层
总结一下,上面的讨论说明向量商对于证明本题的结论有优势,并且证明过程适用另外两点D'和E',具体参考15楼,用直接构造,难以区别D、D'、E和E'。但是向量商主流可能是不认可的。
为方便阅读,重发本题,并且少量修改原图。
AB=AC,D和E在两边延长线上,DB/DC=CE/AE=1/2,证明:△BDC∽△ACE
QQ浏览器截屏未命名2.png
学者常常通过巧妙构造来规避平方运算,最典型的就是内心定理,可能是软件计算能力有限,也不愿意看到比较复杂的结果。

点评

http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=11143&extra=&highlight=Mathematica&page=11  发表于 2019-12-8 19:56
有关用Mathematica证明几何定理的大量实例参考【分享】交流一下 Mathematica 编程方法,期望学习该软件的网友积极参与 - 第10页 - www.fea-league.com - 数学中国 - Powered by Discuz! http://www.mathchina.com/bb   发表于 2019-12-8 19:55
发重复了,能否删除上楼。  发表于 2019-12-4 20:38
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 楼主| 发表于 2019-12-10 23:04:49 | 显示全部楼层
已知:`I` 是`\triangle ABC`的内心,求证:\[\begin{equation}BC\cdot\overset\rightharpoonup{IA}+CA\cdot\overset\rightharpoonup{IB}+AB\cdot\overset\rightharpoonup{IC}=0\end{equation}\].
无标题.png
证明:我们将图形放在复平面上,用相应的小写字母表示各点在复平面上的对应复数。
若把内心放在原点,顶点`A,B,C`为动态点,那么顶点显然不能为主动点,它们只能设为从动点,主动点可为内切圆与各边的切点`D,E,F`.
所以我们将`a,b,c`都表为`d,e,f`的代数式。不妨设内切圆为单位圆, 则\[d\bar d=e\bar e=f\bar f=1\]对非零复数`z`,记 `\D z^o:=\frac z{|z|}`.
【引理1】如图`E,F`在单位圆`z\bar z=1`上,由`IG⊥EF`, 按如图所示逆时针方向,有`(e+f)^o=\mathbf{i}\*(e-f)^o`。
由两直角三角形相似关系得`\D\frac{\overset\rightharpoonup{IG}}{\overset\rightharpoonup{IE}}=\frac{\overset\rightharpoonup{IF}}{\overset\rightharpoonup{IA}}`, 将`IE=e,IF=f,IA=a,IG=\D\frac{e+f}2`代入得
\[a=\frac{2ef}{e+f}=\frac{2}{\bar e+\bar f}=\frac{2(e+f)^o}{|\bar e+\bar f|}=\frac{2\mathbf{i}(e-f)^o}{|\bar e+\bar f|}\]轮换可得   `b=\D\frac2{\bar f+\bar d},c=\frac2{\bar d+\bar e}`, 所以\[\overset\rightharpoonup{BC}=c-b=\frac2{\bar d+\bar e}-\frac2{\bar f+\bar d}=\frac{2(\bar f-\bar e)}{(\bar d+\bar e)(\bar f+\bar d)}\]所以\[BC\*a=\frac{4\mathbf{i}|\bar f-\bar e|(e-f)^o}{|\bar d+\bar e||\bar e+\bar f||\bar f+\bar d|}=k(e-f)\]其中`\D k=\frac{-4\mathbf{i}}{|d+e|\*|e+f|\*|f+d|}`
轮换得 \[CA\*b=k(f-d),AB\*c=k(d-e)\]所以
\[BC\*a+CA\*b+AB\*c=k(e-f+f-d+d-e)=0\]
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 楼主| 发表于 2019-12-11 23:06:23 | 显示全部楼层
除了内心 `I`,对其它的任意点`P`,都不成立\[BC\cdot\overset\rightharpoonup{PA}+CA\cdot\overset\rightharpoonup{PB}+AB\cdot\overset\rightharpoonup{PC}=0\tag{2}\]也就是说,楼上命题的逆也成立。
证明:(2)式减上楼(1)式得
\[\begin{split}BC\cdot\overset\rightharpoonup{PI}+CA\cdot\overset\rightharpoonup{PI}+AB\cdot\overset\rightharpoonup{PI}=0,&\\(BC+CA+AB)\cdot\overset\rightharpoonup{PI}=0,&\\\text{but }BC,CA,AB>0, \text{so only }\overset\rightharpoonup{PI}=0.&\\
\end{split}\]即`P=I`.
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发表于 2020-1-2 21:17:45 来自手机 | 显示全部楼层
真心希望中国的数学大师完成此理论。

点评

怪会吹牛逼的啊。会抬轿子啊。国内就没高水平几何领域大师。  发表于 2022-1-14 10:06
同感,更希望在这论坛内完成。  发表于 2020-1-11 20:23
谢谢站长的奖励与鼓励!目前初次在此论坛感觉到胡俊华教授有几何大师的水平。  发表于 2020-1-7 11:47

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 楼主| 发表于 2020-1-12 21:26:38 | 显示全部楼层
直角三角形 ΔADE 反向相似于 ΔABC,∠ADE,∠ACB 是直角,F 是 BE 中点,证明:CF=DF
证明:假设A在原点,BC/AC=DE/AD=λ,应用向量定比分点公式的程序证明如下:

直角三角形向量商

直角三角形向量商

本题是典型的向量商应用实例。
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