wayne 发表于 2011-9-18 18:15:12

14# hujunhua
周期函数s(t)并不是初等函数
但却在有限个的 分段区间内是单调单值的。
我们要关注的这个有限的分段区间 其实就是 四分之一个周期的整数倍的这种时间区间。

056254628 发表于 2011-9-18 19:06:46

回复19#
设t时间时两者相遇,记a=Va*t/S,b=Vb*t/S   (a>b)
那么,必满足以下两个条件之一:
1. a+b是奇整数;
2. a-b是奇整数。
-------------------------
同样若满足条件1,那么两者刚好相遇;
若满足条件2,那么两者也刚好相遇;
-------------------------------
记A=Va*T/S,B=Vb*T/S
在T时间内,满足条件1的次数就是计算(A+B)之内奇数的个数n1。
满足条件2的次数就是计算(A-B)之内奇数的个数n2。
而既满足条件1又满足条件2的就是我所说的第三种情况n3。这种情况即算在1中,又算在2中,是重复计算,要减去。
---------------------------------------
所以n=n1+n2-n3

056254628 发表于 2011-9-18 19:44:32

接22楼:
第一、第二种情况的计算很简单,对于第三种情况的计算,我上述的公式都觉得有问题。
------------------------------------------------------
下面重新考虑计算:
出现第三种情况,应该两人相遇于端点,不可能在AB之间。
这时a+b=k,a-b=m    (k、m都是奇数)
设A:B=p:q(p、q互素)
对于奇数k=a+b,按照p:q比例分配而得的a和b值,也都是整数。
所以k是(p+q)的奇数倍,且p+q不能是偶数。而A+B之内的满足(p+q)的奇数倍的个数为$[([/(p+q)]+1)/2]$
所以n3=$[([/(p+q)]+1)/2]$
最后得出的相遇次数n
1.A=B时,$n=[(A+B+1)/2]$
2.p、q都是奇数或A/B是无理数时,$n=[(A+B+1)/2]+[(A-B+1)/2]$
3.$n=[(A+B+1)/2]+[(A-B+1)/2]-[([/(p+q)]+1)/2]$

shshsh_0510 发表于 2011-9-18 22:39:48

我那天也只给孩子讲了都是有理数的情况,任意数就是觉得是个挺复杂的动力系统,没仔细想

给孩子们的数很简单,满足Va-Vb 整除 Va 和Vb ,这样就是小学题了 :)

wayne 发表于 2011-9-19 10:12:57

15# 056254628
因为相遇不但是迎头相遇(第一种情况:两者路程和等于S的奇数倍),还包括从后面追上(第二种情况:两者路程相差S的奇数倍)。其中还有重复计算(既是第一种情况,也是第二种情况)

两种情况都满足,就是说 既是 迎头相遇 又是 从后面追上 的
我理解不了。。。
:L

sheng_jianguo 发表于 2011-9-19 10:24:05

  用图形方法比较直观,不但显示相遇次数,且显示相遇地点。但相遇次数很多时(成千上万),很难数清相遇次数,除非软件自动判别(如果软件判别,那直接编个程序计算结果就可以了)。
  如果只要求相遇次数,其实我的计算原理很简单(可能容易给小学生讲清楚),补充说明如下:
假定a的速度不小于b的速度。则a在A到B(或B到A)与b必相遇,且只相遇1次。
所以相遇次数≈N1=【Va*T/S】(【X】为X去掉小数后的整数部分)
在N1基础上只要加上a最后一次在AB中与b相遇次数N2(1或0)并减去a、b在A或B点相遇次数N3就是所求的相遇次数N,即
N=N1+N2-N3
我给出的N2、N3计算不复杂,但判断不简单。
056254628 非常聪明,给出了漂亮的简单公式。按其思路,也可直接给出公式
设An=Va*T/S,Bn=Vb*T/S
Va/Vb=p/q,其中当Va/Vb为分数时, p/q为最简分数;当Va/Vb为整数时,p=Va/Vb,q=1;当Va/Vb为无理数时,p=3(或大于3的奇数),q=1。
N2=【An-【An】+Bn-【Bn】】*(【An】+【Bn】)mod2+【An-【An】+1-(Bn-【Bn】)】*(【An】+【Bn】+1) mod2
N3=【(An+p)/(2p)】*(p+q) mod2
(N3公式来源举例: Va/Vb=7/4,说明a在(仅在)走了7S,(7+2*7)S,(7+4*7)S,(7+6*7)S),…时在A(或B)处与b相遇)
如果觉得N2计算麻烦,可用056254628的n1+n2代替N1+N2

综合上述,所求相遇次数的比较简单公式为:
N=【(An+Bn+1)/2】+【(An-Bn+1)/2】-【(An+p)/(2p)】*(p+q) mod2

另:056254628计算的n3好像没错

sheng_jianguo 发表于 2011-9-19 10:41:01

25# wayne
我分析了一下,056254628的第一种情况:不但是迎头相遇,还有端点相遇(追上相遇),第二种情况:追上相遇。所以重复计算了端点相遇情况。

wayne 发表于 2011-9-19 13:06:12

27# sheng_jianguo
嗯,明白了,thanks
===================
现在看来,我们四个人的答案都是一致的。
套用hujunhua的 数学描述:
|Va±Vb|t=(2k-1)S,t∈(0,T], k∈N
我们稍稍折腾一下上面的方程:
t_1 ={(2k-1)S}/{V_a+V_b}<=T
t_2 ={(2k-1)S}/{|V_a-V_b|}<=T
k是正整数

解上面的两个不等式,我们要得到的是 所有的不相等的正整数根 t的个数,即要排除重根。



接下来就同 056254628 和 sheng_jianguo的分析是一致的了。

不过,我倒认为,把答案 显式化反而影响 答案的可读性,呵呵。

平常心 发表于 2012-8-3 21:32:33

偶然看到。试试,与各位交流。

解:a、b第一次相遇在C,AC +CB=S,所用时间为t=S/( Va +Vb )
      这之后,a、b第二次相遇在D,这一阶段他们走过的路为:
               C B+BD+CA+AD= (C B +CA)+(AD+BD) =2S,所用时间为2t
      以此类推,以后a、b再次相遇又走过2S的路程,所用时间仍然是2t
      由此可知:在T时间内,a、b相遇的次数是:(T-t)/2t+1
(本应画图说明,考虑到比较好理解就略去了。若给小学生讲解,则必须画图,培养他们正确的思维习惯和画图能力,能够提高他们解决数学问题的能力。)

那1抹阳光 发表于 2012-8-4 17:26:40

我来试着简单回答一下:
当VA等于VB时,他们的相遇点永远在中点上,故结果为T*VA/S或T*VB/S(四舍五入)
当VA不等于VB时,结果为T*(VA+VB)/S(去小数取整)
至于原因上面已经都给出了,第二式含相遇和追赶,第一行只有相遇
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