好久没来了，出道小学题

wayne

14# hujunhua
周期函数s(t)并不是初等函数
但却在有限个的 分段区间内是单调单值的。
我们要关注的这个有限的分段区间 其实就是 四分之一个周期的整数倍的这种时间区间。

056254628

回复19#
设t时间时两者相遇，记a=Va*t/S，b=Vb*t/S     (a>b)
那么，必满足以下两个条件之一：
1. a+b是奇整数；
2. a-b是奇整数。
-------------------------
同样若满足条件1，那么两者刚好相遇；
若满足条件2，那么两者也刚好相遇；
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记A=Va*T/S，B=Vb*T/S
在T时间内，满足条件1的次数就是计算(A+B）之内奇数的个数n1。
满足条件2的次数就是计算(A-B）之内奇数的个数n2。
而既满足条件1又满足条件2的就是我所说的第三种情况n3。这种情况即算在1中，又算在2中，是重复计算，要减去。
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所以n=n1+n2-n3

056254628

接22楼：
第一、第二种情况的计算很简单，对于第三种情况的计算，我上述的公式都觉得有问题。
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下面重新考虑计算：
出现第三种情况，应该两人相遇于端点，不可能在AB之间。
这时a+b=k，a-b=m    (k、m都是奇数)
设A：B=p:q  (p、q互素)
对于奇数k=a+b，按照p:q比例分配而得的a和b值，也都是整数。
所以k是(p+q)的奇数倍，且p+q不能是偶数。而A+B之内的满足(p+q)的奇数倍的个数为$[([[A+B]/(p+q)]+1)/2]$
所以n3=$[([[A+B]/(p+q)]+1)/2]$
最后得出的相遇次数n
1.A=B时,$n=[(A+B+1)/2]$
2.p、q都是奇数或A/B是无理数时，$n=[(A+B+1)/2]+[(A-B+1)/2]$
3.$n=[(A+B+1)/2]+[(A-B+1)/2]-[([[A+B]/(p+q)]+1)/2]$

shshsh_0510

我那天也只给孩子讲了都是有理数的情况,任意数就是觉得是个挺复杂的动力系统,没仔细想

给孩子们的数很简单,满足Va-Vb 整除 Va 和Vb ，这样就是小学题了

wayne

15# 056254628

因为相遇不但是迎头相遇(第一种情况：两者路程和等于S的奇数倍)，还包括从后面追上(第二种情况：两者路程相差S的奇数倍)。其中还有重复计算(既是第一种情况，也是第二种情况)

两种情况都满足，就是说 既是 迎头相遇 又是 从后面追上 的
我理解不了。。。

sheng_jianguo

　　用图形方法比较直观，不但显示相遇次数，且显示相遇地点。但相遇次数很多时（成千上万），很难数清相遇次数，除非软件自动判别（如果软件判别，那直接编个程序计算结果就可以了）。
　　如果只要求相遇次数，其实我的计算原理很简单（可能容易给小学生讲清楚），补充说明如下：
假定a的速度不小于b的速度。则a在A到B（或B到A）与b必相遇，且只相遇1次。
所以相遇次数≈N1=【Va*T/S】（【X】为X去掉小数后的整数部分）
在N1基础上只要加上a最后一次在AB中与b相遇次数N2（1或0）并减去a、b在A或B点相遇次数N3就是所求的相遇次数N，即
N=N1+N2-N3
我给出的N2、N3计算不复杂，但判断不简单。
056254628 非常聪明，给出了漂亮的简单公式。按其思路，也可直接给出公式
设An=Va*T/S，Bn=Vb*T/S
Va/Vb=p/q,其中当Va/Vb为分数时, p/q为最简分数；当Va/Vb为整数时，p=Va/Vb，q=1；当Va/Vb为无理数时，p=3（或大于3的奇数），q=1。
N2=【An-【An】+Bn-【Bn】】*(【An】+【Bn】)mod2+【An-【An】+1-(Bn-【Bn】)】*(【An】+【Bn】+1) mod2
N3=【(An+p)/(2p)】*(p+q) mod2
(N3公式来源举例: Va/Vb=7/4，说明a在(仅在)走了7S，(7+2*7)S，(7+4*7)S，(7+6*7)S)，…时在A(或B)处与b相遇)
如果觉得N2计算麻烦，可用056254628的n1+n2代替N1+N2

综合上述，所求相遇次数的比较简单公式为：
N=【(An+Bn+1)/2】+【(An-Bn+1)/2】-【(An+p)/(2p)】*(p+q) mod2

另：056254628计算的n3好像没错

sheng_jianguo

25# wayne
我分析了一下，056254628的第一种情况：不但是迎头相遇，还有端点相遇（追上相遇），第二种情况：追上相遇。所以重复计算了端点相遇情况。

wayne

27# sheng_jianguo
嗯，明白了，thanks
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现在看来，我们四个人的答案都是一致的。
套用hujunhua的 数学描述：

|Va±Vb|t=(2k-1)S,  t∈(0,T], k∈N

我们稍稍折腾一下上面的方程：
$t_1 ={(2k-1)S}/{V_a+V_b}<=T$
$t_2 ={(2k-1)S}/{|V_a-V_b|}<=T$
k是正整数

解上面的两个不等式，我们要得到的是 所有的不相等的正整数根 t的个数，即要排除重根。



接下来就同 056254628 和 sheng_jianguo  的分析是一致的了。

不过，我倒认为，把答案 显式化反而影响 答案的可读性，呵呵。

平常心

　　偶然看到。试试，与各位交流。

解：a、b第一次相遇在C，AC +CB=S，所用时间为t=S/( V_a +V_b )
        这之后,a、b第二次相遇在D，这一阶段他们走过的路为:
               C B+BD+CA+AD= (C B +CA)+(AD+BD) =2S，所用时间为2t
        以此类推，以后a、b再次相遇又走过2S的路程，所用时间仍然是2t
        由此可知：在T时间内，a、b相遇的次数是：（T－t）/2t+1
（本应画图说明，考虑到比较好理解就略去了。若给小学生讲解，则必须画图，培养他们正确的思维习惯和画图能力，能够提高他们解决数学问题的能力。）

那1抹阳光

我来试着简单回答一下：
当VA等于VB时，他们的相遇点永远在中点上，故结果为T*VA/S或T*VB/S（四舍五入）
当VA不等于VB时，结果为T*（VA+VB）/S（去小数取整）
至于原因上面已经都给出了，第二式含相遇和追赶，第一行只有相遇