好久没来了，出道小学题

hujunhua

选择适当的长度和时间单位，使S=π，T=2π，可使得图像范围固定下来而不失一般性。设Va和Vb在此单位制下化为α和β。
这时a(τ)=cos(ατ), b(τ)=-cos(βτ)，
$c(τ)=a(τ)-b(τ)=cos(\alpha\tau)+cos(\beta\tau)=2cos({\alpha+\beta}/2)\tau·cos({\alpha-\beta}/2)\tau$
c(τ)=0时相遇，即$cos({\alpha±\beta}/2)\tau=0$ ,得
|α±β|τ=(2k-1)π, 0<τ≤2π, （k∈N, 下同），即0<(2k-1)/|α±β|≤2
1≤k≤|α±β|+1/2
设|α+β|τ=(2k-1)π, 0<τ≤2π与|α-β|τ=(2k-1)π, 0<τ≤2π所得τ的两个解集有x个相同解，则相遇次数为

【|α+β|+1/2】+【|α-β|+1/2】-x
当α±β为正整数时，上式可化简为2α-x

如果不给出具体的数值，x的表达不是那么容易确定的。所以问题并不似9#和10#所想的那么简单。

hujunhua

按图中c(t)与时间轴的交点个数，知相遇次数n=10.
若按9#和10#的公式，n=α+β=8. 错误

wayne

在局部区域 运用函数的单调性法则，然后连缀起来，我们可以确定，
在确定的区间内，两条锯齿波的 函数图像相交次数 跟 对应的两条余弦波的 函数图像的相交次数是一样的。
设原点是路程的中点，我们列方程：
S/2*cos(Va*t*π/S) = - S/2*cos(Vb*t*π/S)
解得：
|Va±Vb|t=(2k-1)S  (k是正整数)
于是问题就转化为  在 t属于 [0,T]的区间内  求上面方程的解的个数

好像跟hujunhua 老大是完全一致的，嘿嘿

hujunhua

在局部区域 运用函数的单调性法则，然后连缀起来，我们可以确定，
在确定的区间内，两条锯齿波的 函数图像相交次数 跟 对应的两条余弦波的 函数图像的相交次数是一样的。
...
wayne 发表于 2011-9-18 08:50

曲线上的点的位置有多种表达方式，
1、弧长坐标系：在曲线上取一定点为原点，以其它点到原点的有向弧长s(t)作为坐标。
2、投影坐标系。比如，平面曲线，就用(x(t),y(t)).
当用投影坐标系时，若曲线方程F(x,y)=0可以转成单值函数y=f(x)，那么单用x(t)就足以确定点的位置，因为x(t)与(x(t),y(t))一一对应。

本题中，由于不涉及曲线形状，一般都会使用s(t)，但周期函数s(t)并不是基本初等函数，不方便软件绘图和理论分析。使用投影坐标系却可得到基本初等函数。

所以，确切地说，是用函数的单值性，而不是单调性。

056254628

回复11楼，9#、10#确实漏算了一种情况。因为相遇不但是迎头相遇(第一种情况：两者路程和等于S的奇数倍)，还包括从后面追上(第二种情况：两者路程相差S的奇数倍)。其中还有重复计算(既是第一种情况，也是第二种情况)
假设$V_a>=V_b$
第一种情况个数$n_1=[([(V_a+V_b)*T/S]+1)/2]$
第二种情况个数$n_2=[([(V_a-V_b)*T/S]+1)/2]$
第三种情况个数$n_3$:
    设$R=(V_a+v_b)/(V_a-V_b)$
    若R为无理数，那么$n_3=0$
    若R为有理数，假设=p/q(已为既约分数,若R为整数，q=1)，若p或q为偶数，那么$n_3=0$；若p、q都为奇数，那么$n=[([[a-b]/q]+1)/2]$
相遇总次数$n=n_1+n_2-n_3$
不知还有没有疏漏的地方，请大家指正。

hujunhua

11#中得到方程可写为： |α±β|τ=(2k-1)π, 0<τ≤2π, （k∈N）

其中，α=Va·T/2S, β=Vb·T/2S, τ=2πt/T，代入后可化为13#的方程

|Va±Vb|t=(2k-1)S,  t∈[0,T], k∈N

056254628

根据15楼的计算公式：
设经过T时间，A走的路程为a个S，即a=Va*T/S,
            B走的路程为b个S，即b=Vb*T/S,
设R=(a+b)/(a-b)=p/q   (R为整数，q=1；R为无理数，可视q为无穷大)

那么n1=[[a+b+1]/2]
    n2=[[a-b+1]/2]
    n3=[([[a-b]/q]+1)/2]      p、q 都为奇数
  n3=0                                    p、q至少有一个为偶数
    n=n1+n2-n3
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比如a=10,b=6
那么，n1=8,n2=2,n3=0
n=8+2=10

056254628

可以化简为：
  n1=[(a+b+1)/2]
    n2=[(a-b+1)/2]
   n3=[(a-b+q)/(2q)]         p、q都为奇数
最后的答案就是：
设$a=V_a*T/S$,$b=V_b*T/S$
假设$a>b$
设R=(a+b)/(a-b)=p/q   (p、q互素；R为整数，q=1；R为无理数，可视q为无穷大)
那么 $n=[(a+b+1)/2]+[(a-b+1)/2]-[(a-b+q)/(2q)]*(pq mod 2)$
若a=b,则$n=[(a+b+1)/2]$
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wayne

15# 056254628
第三种情况咋回事，没明白...

wayne

14# hujunhua
函数的单值性，不太理解，如图。


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是说两个函数的差 的单值性吗