好久没来了，出道小学题

shshsh_0510

前几天女儿上小学数学提高班，有道测验题不会做，说全班只他们两个不会，我费了半天劲，最后只得承认，要是在考场，我也做不出来，大家试试用多长时间：

A,B 两地距离 S ，a,b两人分别从A,B出发，速度分为Va ,Vb , 两人到达另一地点后，立即反回头继续走，问T时间内，相遇几次。

当然，原题所有变量都是定值，我为了给孩子讲透彻些，就换成了变量。我错了......

wayne

1# shshsh_0510
要是换成变量了，允许我们列方程 画图吗？

gxqcn

感觉要画一个 位置—时间 坐标图来解答这个问题，数数两条曲线（各由折线构成）的交点数。

sheng_jianguo

我分析一下，题目好像不难，就是要仔细分清楚（分析a与b在A（或B）相遇次数及最后一次是否在AB间是否相遇，没有花很多时间仔细验证，仅供参考）：
不妨假设Va≥Vb
设Va/Vb=Na/Nb,其中当Va/Vb为分数时, Na/Nb为最简分数；当Va/Vb为无理数或整数时，Na=Va/Vb，Nb=1。
A）Na-Nb不是奇数（a与b在A（或B）不相遇）
1）【Va*T/S】-【Vb*T/S】为奇数，【X】为X去掉小数后的整数部分，下同
当Va*T-【Va*T/S】*S+Vb*T-【Vb*T/S】*S＜S时
相遇次数=【Va*T/S】
当Va*T-【Va*T/S】*S+Vb*T-【Vb*T/S】*S≥S时
相遇次数=【Va*T/S】+1
2）【Va*T/S】-【Vb*T/S】为偶数
当Va*T-【Va*T/S】*S＜Vb*T-【Vb*T/S】*S时
相遇次数=【Va*T/S】
当Va*T-【Va*T/S】*S≥Vb*T-【Vb*T/S】*S时
相遇次数=【Va*T/S】+1
B）Na-Nb是奇数
令To=Na*S/Va，m=【(T-To)/(2To)】+1，当T-To＜0时m=0
n是按A）中各种情况计算得出的相遇次数
则这种情况下，相遇次数=n-m

hujunhua

要是高中的话，我倒是真有一妙解——用三角函数。可惜是小学题，用不上。

mathe

这道题目画图法容易理解

hujunhua

我说的就是用数学软件绘图的取巧方法。用于实现2#、3#和6#的设想。
直接绘折线图，于手工较易，但是可用软件时，作三角函数的图像更简便。

hujunhua

把题目的情节改编一下：a, b 两只蚂蚁沿一段长为S的悬空导线不停地爬行，爬到导线端头时回头……

导线弯曲成什么形状是没有影响的，只要不打结、自交。不管它原先是什么形状，我们现在把它弯成一个半圆弧！然后在连接AB的直线上建立数轴，原点O取在圆弧中心，OA方向为正。蚂蚁的位置就可用它在此数轴上的投影a(t)和b(t) 来反映，a(t) 和b(t)都是余弦函数。a(t)=b(t)时两者相会。或者c(t)=a(t)-b(t)=0时两者相会

056254628

大家都想复杂了。其实题目很简单。
设$(V_a+V_b)*T=L$
若L不小于S，至少相遇一次
若L不小于3S，至少相遇两次
若L不小于5S，至少相遇三次。
----------------------------------------------
答案就是：相遇次数$n=[([L/S]+1)/2] $         []表示取整

056254628

对于小学可以这么叙述：
$(V_a+V_b)*T/S$  在某两个相邻的奇数之间 [k,k+2)
相遇次数就等于$(k+1)/2$